Дана функция y=x^2-x^3.
Для определения промежутков возрастания и убывания функции и
точек экстремума находим производную заданной функции.
y' = 2x -3x² = x(2 - 3x). Приравниваем нулю:
x(2 - 3x) = 0. Отсюда первый корень х = 0.
Далее: 2 - 3x = 0, x = 2/3.
Найдены критические точки, которые могут быть экстремумами:
х_1 = 0 и х_2 = √(2/3).
Определяем их свойства по знакам производной:
х = -1 0 0,5 (2/3) 1
y' = -5 0 0,25 0 -1 . Получаем ответ:
а) промежуток возрастания (производная положительна) (0; 2/3),
промежутки убывания функции (-∞; 0) и ((2/3); +∞).
б) точки экстремума: максимум ((2/3); 0,148148) и минимум (0; 0).
найдем одз. под корнем может находиться только неотрицательное значение, значит 5-х> =0, откуда х< =5. корень может принимать только неотрицательные значения, значит 5-х^2> =0, откуда х^2< =5, откуда |х|< =√5, откуда -√5< =х< =√5.
теперь решение:
вoзведем в квадрат:
(5-x^2)^2=5-x
25-10x^2+x^4=5-x
x^4-10x^2+x+20=0
(x^2-x-4)(x^2+x-5)=0
1) x^2-x-4=0
d=17
x(1)=(1+√17)/2> (1+√16)/2=(1+4)/2=5/2=√5*√5/2> √5*√4/2=√5. значит этот корень не подходит.
x(2)=(1-√17)/2 подставляя в изначальное уравнение, проверяем, что этот корень подходит.
2) x^2+x-5=0
d=21
x(1)=(-1+√21)/2 подставляя в изначальное уравнение, проверяем, что этот корень подходит.
x(2)=(-1-√21)/2< (-1-√16)/2=-5/2=-√5*√5/2< -√5*√4/2=-√5. значит этот корень не подходит.
ответ: х(1)=(1-√17)/2, х(2)=(-1+√21)/2.
