Катер плив за течіею річки 2,3 год і проти течії- 2,7 год. Шлях, який катер пройшов за течіею, на 2,8 км довший, ніж шлях, який пройшов катер за течіею. Знайдіть швидкість течії, якщо власна швидкість катера стано- вить 32 км/год.​

Есть несколько путей - например, с выделением полного квадрата или через дискриминант.

1. Выделение полного квадрата
Прибавим и вычтем 4:
x^2 - 4x + 4 - 4 - 30 = 0
Заметим, что x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2, приведем подобные:
(x - 2)^2 - 34 = 0
(x - 2)^2 = 34
Извлекаем корень (я его обозначаю sqrt):
x - 2 = +- sqrt(34)
x = 2 +- sqrt(34)

2. Дискриминант.
Если есть уравнение ax^2 + bx + c = 0, то дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, и решение (если D>0) имеет вид x = (-b +- sqrt(D))/2a.
a = 1, b = -4, c = -30.
D = 16 + 120 = 136 = 4 * 34
x = (4 +- sqrt(4 * 34))/2
Можно вынести 4 из под знака корня и сократить на 2:
x = (4 +- 2sqrt(34))/2 = 2 +- sqrt(34)

3. Дискриминант/4
Если уравнение имеет вид ax^2 + 2bx + c = 0, то можно вычислить D* = D/4 = b^2 - ac, решение будет выглядеть так: x = (-b +- sqrt(D*))/a
D* = 4 + 30 = 34
x = (2 +- sqrt(34))/1 = 2 +- sqrt(34)
Последний удобен, если старший коэффициент равен 1 или коэффициент при x чётный.

ответ. x = 2 +- sqrt(34).

При каких значениях параметра уравнение (x²-(4a-3)x -12a ) / (x²-1) =0 имеет 1 корень .

Решение  :       (x² - (4a - 3)x - 12a ) / (x² - 1 ) = 0  ⇔  

{ x²-(4a-3)x -12a = 0 ;

{x² - 1  ≠  0 . || ОДЗ ||

x²- 1≠ 0⇔x ≠ ± 1  * * * (x+1)(x-1) ≠0⇔ x+1≠0 и x-1 ≠0 ⇔ x ≠ -1 и x ≠ 1 * * *

x² - (4a - 3)x - 12a = 0      

- - -

Если  a =0    * * *  - 12a = 0  * * *

x²-(4a-3)x-12a =0 ⇔x² +3x=0⇔(x+3)x=0⇒x₁ = -3,x₂= 0  два корня

- - -

D=(4a-3)²- 4*1*(-12a) =16a²-24a +9-4*1*(-24a)=16a²+24a+9 = (4a+3)² ≥0

Если  D = 0 ⇔ 4a+3=0⇔ a = - 3/4   x₁=x₂=(4a-3)/2 = - 3 ( кратный корень)

По  уставу   ЕГЭ  _ одно решение    

звучит так: Квадратное уравнение имеет ОДИН корень, если D=0

* * * a = - 3/4 ⇒x²- (4a-3)x -12a =0 ⇔ x²+6x+9 =0 ⇔(x+3)² = 0 ⇒x = -3 * * *

x₁,₂ = (4a-3 ±(4a+3) ) /2 ;

x₁ =(4a-3- 4a- 3) /2 = -3 ;  ясно  x₁ = -3 решение ( ∈ ОДЗ )

* * * уже обеспечен один корень * * *

x₂=(4a-3 +4a+3)/2 = 4a

Для того чтобы уравнение имел только один корень x₂=4a не должно  быть корнем ,  т.е.  4a = - 1  или 4a = 1 .       a = - 1/4  или   a = 1 /4

* * *  [   4a = - 1  ;  4a = 1 . ( совокупность уравнений )  * * *

ответ:   - 3/4  -1/4 ;  1/4 .                  * * * -0,75 ; - 0,25 ;0,25  * * *

* * * P.S. Квадратное уравнение ax²+bx+c =0 ⇔a(x+b/2a)²- D/4a =0 ;a≠0 .

если D = 0 , то  ( x+b/2a)² = 0 ⇒ x₁ = x₂= - b/2a_двукратный корень  * * *