Сколько существует натуральных значений х , чтобы
значение дроби будет целым числом?

Для того чтобы доказать, что множество не замкнуто, нам достаточно найти два иррациональных числа - сложить их и в результате получить рациональное число. То есть сумма двух иррациональных чисел не всегда иррациональна, то есть не замкнуто на иррациональности.
Возьмем  простейшее иррациональное число √2 и соответсвенно -√2
сложим √2 + (-√2) = √2 - √2 = 0
0 число рациональное . Тем самым мы нашли два иррациональных числа, которые при сложении дают рациональное число
Так же доказывается  незамкнутость иррациональных чисел при 
1. разности 1+√3 и √3 равна 1
2. произведении √2 и 2√2 равно 4
3. делении 2√2 и √2 равно 2

Докажем что √2 иррациональное число
Предположим что оно рациональное то есть его можно представить в виде несократимой дроби √2=a/b где a , целые и взаимнопросты (в противном случае они бы сократились) замечаем что a b оба не четные (если бы были оба четными то сократились на 2)
Возводим в квадрат  2=a²/b² 2b²=a²  замечаем что число 2b² четное, значит и a² тоже четное. заменяем a=2c и подставляем в 2b²=(2c)²=4c²
b²=2c²  получили что и b четное. То есть a b четные и их можно сократить, но мы предполагали что они взаимнопросты, и тем самым допустили противоречие. Значит √2 нельзя представить в виде дроби и оно иррациональное число

9

Объяснение:

Заметим, что сумма цифр у числа будет иметь такой же остаток по модулю 9, что и само число, так как пусть число имеет вид заметим, что число вида 10^n-1 делится на 9, так как оно будет состоять из одних девяток, значит число вида сравнимо с по модулю 9. Значит все число сравнимо с суммой цифрой по модулю 9. Так как 209! делится на 9 (содержит множитель 9), то сумма цифр будет делится на 9 ⇒ сумма суммы цифр делится на 9 и. т.д. Таким образом, однозначное число будет делится на 9, значит оно равно 0 или 9, но равно 0 оно быть не может, так как сумма цифр у натурального числа ненулевая, так как содержит хотя бы 1 не 0. Значит она равна 9