Разложите многочлен на множители. a) 6abz - 2az⁴ - 4bz²; б) x² + 18х + 81; в) 2a(x + 5) + 4b(x + 5); г) (x + 1)x + x² + 2x + 1 д) 49 - b² e) 10pq - 15q + 2p - 3; ж) x⁵ - x⁴ - x + 1 3) 1000x³ - 27; и) 0,01a² - 0,6а + 9; к) 0,01а² - 0,6а + 8; л) a³ + 8 + a² + 2a; м) 64а⁴ + ас³

обозначим скорость течения реки за х км/ч

тогда скорость лодки по течению (8+х) км/ч, а против течения (8-х) км/ч

15/(8+х)+6/(8-х) = 5/х

15/(8+х) + 6(8-х)-5/х =0

приводим к общему знаменателю:

15х(8-х)+6х(8+х)-5(8+х)(8-х)/((х(8+х)(8-х))=0

для удобства записи знаменатель писать не буду, потому что дробь равна 0, если числитель равен 0, а знаменатель не равен 0,т.е. просто имеем ввиду, что х не может быть 0; 8; -8)

120х-15х^2+48x+6x^2-320+5x^2=0

-4x^2+168x-320=0

x^2-42x+80=0

D=1764-320=1444

x=(42+-38)/2

x=2; 40

ответом будет 2 км/ч, потому что 40 не подойдёт по смыслу задачи. т.к. в этом случае движение лодки против течения было бы невозможным(скорость стала бы отрицательной).

Доказать можно методом математической индукции...
только есть нюанс -числа целые (а не натуральные)))
1) для четного целого n утверждение очевидно:
n = 2k, k∈Z          (2k)² - 5(2k) + 2 = 2*(2k² - 5k + 1)
2) для НЕчетного целого n:
n = 2k+1, k∈Z         
(2k+1)² - 5(2k+1) + 2 = 4k² + 4k + 1 - 10k - 5 + 2 = 2*(2k² - 3k - 1)

для чисел, кратных трем, будет на один вариант больше представлений:
n = 3k (число кратно трем)
n = 3k+1 (число НЕ кратно трем --дает остаток 1)
n = 3k+2 (число НЕ кратно трем --дает остаток 2)
1)      (3k)³ + 2(3k) - 3 = 3*(9k³ + 2k - 1)
2)      (3k+1)³ + 2(3k+1) - 3 = 27k³ + 27k² + 9k + 1 + 6k + 2 - 3 =
= 3*(9k³ + 9k² + 3k)
3)      (3k+2)³ + 2(3k+2) - 3 = 27k³ + 54k² + 36k + 8 + 6k + 4 - 3 =
= 3*(9k³ + 18k² + 14k + 3)

можно было доказывать и в первом и во втором случае кратность только для первых двух слагаемых, т.к. третьи слагаемые в обоих случаях кратны заданным числам... чуть короче бы получилось...