В равносторонний треугольник случайным образом «бросили» точку. Найдите вероятность того, что она попала во внутреннюю область круга, вписанного в данный треугольник.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. глава 5. решение треугольников 5.1. прямоугольный треугольник  аксиомы 1.4 и 2.1 позволяли приписывать отрезкам и углам числа, равные их мерам, то есть измерять отрезки и углы. до сих пор не было связи между величинами углов и длинами отрезков. с введением треугольников появляется возможность связать величины градусных мер углов треугольника и длин его сторон. рассмотрим соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. 1  рисунок 5.1.1.  прямоугольный треугольник. косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. пусть угол (bac) – искомый острый угол. так, например, для угла bac (рис. 5.1.1) теорема 5.1.  косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника. доказательство  пусть abc и a1b1c1 – два прямоугольных треугольника с одним и тем же углом при вершинах a и a1, равным α . построим треугольник ab2c2, равный треугольнику a1b1c1, как показано на рис. 5.1.2. это возможно по аксиоме 4.1. так как углы a и a1 равны, то b2 лежит на прямой ab. прямые bc и b2c2 перпендикулярны прямой ac, и по следствию 3.1 они параллельны. по теореме 4.13 2  рисунок 5.1.2.  к теореме 5.1. но по построению ac2 = a1c1; ab2 = a1b1, следовательно, что и требовалось доказать. теорема 5.2.  теорема пифагора. в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. модель 5.2. доказательство теоремы пифагора. на рисунке 5.1.3 изображен прямоугольный треугольник. bc и ac – его катеты, ab – гипотенуза. по теореме bc2 + ac2 = ab2. доказательство  пусть abc – данный прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине c. 3  рисунок 5.1.3.  к доказательству теоремы пифагора. проведем высоту cd из вершины c. по определению из треугольника acd и из треугольника abc. по теореме 5.1 и, следовательно, . аналогично из δ cdb, из δ acb, и отсюда ab · bd = bc2. складывая полученные равенства и, замечая, что ad + bd = ab, получаем ac2 + bc2 = ab · ad + ab · bd = ab (ad + bd) = ab2. теорема доказана. в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы. косинус любого острого угла меньше единицы. пусть [bc] – перпендикуляр, опущенный из точки b на прямую a, и a – любая точка этой прямой, отличная от c. отрезок ab называется наклонной, проведенной из точки b к прямой a. точка c называется основанием наклонной. отрезок ac называется проекцией наклонной. с теоремы пифагора можно показать, что если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше. синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. по определению тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. для угла (bac) прямоугольного треугольника, изображенного на рис. 5.1.1, имеем так же как и косинус, синус угла и тангенс угла зависят только от величины угла. 4  рисунок 5.1.4. из данных определений получаем следующие соотношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника: если α – острый угол прямоугольного треугольника, то катет, противолежащий углу α , равен произведению гипотенузы на sin α;  катет, прилежащий к углу α , равен произведению гипотенузы на cos α;  катет, противолежащий углу α , равен произведению второго катета на tg α.

В 1964-ом году в свет вышел повесть "Седьмая симфония", написанная Тамарой Сергеевной Цинбергом.

В конце войны Тамара Сергеевна Цинберг прочитала Эрнесту наброски к фильму о блокадном Ленинграде. Первый слушатель был выбран неслучайно. Эрнест как никто другой понимал, как много подробностей, деталей недавних событий, описанных в киносценарии, отражало их собственную блокадную жизнь. Один из ведущих мотивов сюжета — сохранение человеческого достоинства несмотря на все лишения и испытания. В доме Цинбергов это чувство воспитывалось ежедневно. Роза Владимировна строго следила за тем, чтобы на стол стелилась скатерть и подавались приборы каждый раз, когда семья собиралась обедать студнем из варёного столярного клея. Цинберг написала о том, что ей было известно, выстрадано и преодолено.

В начале 1960-х годов Тамара Сергеевна отнесла рукопись Ю. П. Герману на отзыв. Сценарий ему понравился. Однако, понимая, что добиться постановки кинофильма будет трудно, Герман посоветовал написать на основе сценария повесть и опубликовать её в Детгизе. Тамара Сергеевна так и поступила.

В 1964 году книга была опубликована в издательстве Детгиз. Цинберг посвятила её памяти своего отца.

Книга имела успех. Почти сразу же был напечатан дополнительный тираж. Автор получала много положительных отзывов, писем, особенно от учителей, которые читали, изучали, комментировали текст на уроках литературы.

Повестью заинтересовались на киностудии «Ленфильм». В 1966 году по мотивам повести «Седьмая симфония» был снят фильм «Зимнее утро». Его афишу создала Тамара Сергеевна Цинберг.