Даны вершины A(1; -3; 1), B(4; 3; 9), C(2; -6; -3), D(1; 4; 2).
Вычислить:
1) длину ребра АВ.
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
a = √(X² + Y² + Z²).
Находим координаты вектора АВ по точкам A(1; -3; 1), B(4; 3; 9).
АВ = (4-1; 3-(-3); 9-1) = (3; 6; 8).
Длина BC = √(3² + 6² + 8²) = √(9 + 36 + 64) = √109.
2) уравнение прямой АВ.
Для уравнения прямой АВ используем точку А(1; -3; 1) и направляющий вектор АВ = (3; 6; 8).
Получаем уравнение АВ: (x - 1)/3 = (y + 3)/6 = (z – 1)/8.
3) уравнение плоскости АВС. Точки A(1; -3; 1), B(4; 3; 9), C(2; -6; -3).
Находим векторы АB и АC.
Вектор АВ найден: АB = (3; 6; 8).
АC = (2-1; -6-(-3); -3-1) = (1; -3; -4).
Нормальный вектор плоскости АBC находим из векторного произведения векторов АB и АC.
i j k| i j
3 6 8| 3 6
1 -3 -4| 1 -3 = -24i + 8j - 9k + 12j + 24i - 6k =
= 0i + 20j - 15k.
Нормальный вектор плоскости АBC равен (0; 20; -15).
Подставляем найденные координаты нормального вектора в уравнение плоскости, проходящей через точку А:
(x − 1)⋅0 + (y + 3)⋅20 + (z−1)⋅(-15) = 0.
20y - 15z + 75 = 0.
Уравнение АBC: 20y - 15z + 75 = 0.
4) угол наклона прямой AD к плоскости АВС. Точки A(1; -3; 1), D(1; 4; 2).
Находим вектор АD: s = (1-1; 4-(-3); 2-1) = (0; 7; 1).
Уравнение АD: (x - 1)/0 = (y + 3)/7 = (z – 1)/1.
Нормальный вектор плоскости АВС q = (0; 20; -15).
Угол между векторами s и q равен углу между прямой и плоскостью:
sin φ = |cos ψ| = | s · q || s |·| q | =
= | sx · qx + sy · qy + sz · qz |/(√(sx² + sy² + sz²) · √(qx² + qy² + qz²)) =
= | 0 · 0 + 7 · 20 + 1 · (-15) |/(√(0² + 7² + 1²) · √(0² + 20² + (-15)²)) =
= | 0 + 140 - 15 |/(√(0 + 49 + 1) · √(0 + 400 + 225)) =
= 125/(√50 · √625) =
= 125/(5√2 ·25) = 125/(125√2) = √2/2 ≈ 0.7071.
φ = arcsin(√2/2) = 45°.
5) площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС (оно найдено выше и равно (0; 20; -15)).
Получаем S = (1/2)* √(02 + 202 + (-15)2) = (1/2)* √(0 + 400 + 225) =
= (1/2)√625 = (1/2)*25 = 12,5 кв. ед.
6) объём тетраэдра равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов (ABxAC)*AD.
V = (1/6)(ABxAC)*AD.
ABxAC = 0 20 -15
AD = 0 7 1
0 + 140 - 15 = 125.
V = (1/6)*125 = 125/6 ≈ 20,333 куб. ед.
7) уравнение прямой DE перпендикулярной к плоскости АBC; точка D(1; 4; 2).
Направляющим вектором прямой DE является нормальный вектор плоскости АBC, найденный ранее и равный (0; 20; -15).
Уравнение DE: (x - 1)/0 = (y - 4)/20 = (z - 2)/(-15).
8) длину высоты DE.
Длина высоты – это расстояние от точки D до плоскости АВС.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²)
Подставим в формулу данные:
d = |0·1 + 20·4 + (-15)·2 + 75|/√(0² + 20² + (-15)²) =
|0 + 80 - 30 + 75|/√(0 + 400 + 225) =
= 125/√625 = 125/25 = 5.
9) проекцию Е точки D на плоскость АВС.
Для этого надо найти точку пересечения перпендикуляра из точки D к плоскости АВС с самой плоскостью (её уравнение 20y - 15z + 75 = 0).
Уравнение DE тоже найдено: (x - 1)/0 = (y - 4)/20 = (z - 2)/(-15).
Координаты, которые имеет точка Е пересечения x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:
{((x – 1)/0 = (y - 4)/20 = (z - 2)/(-15).
{0x + 20y -15 z + 75 = 0.
Уравнение прямой представим в параметрическом виде.
((x – 1)/0 = (y - 4)/20 = (z - 2)/(-15) = t,
x – 1 = 0*t = 0, x = 1,
y – 4 = 20t, y = 20t + 4,
z – 2 = -15t, z = -15t + 2.
Подставим переменные в уравнение плоскости 0x+20y-15z+75=0.
0*1 + 20*(20t + 4) – 15*(-15t + 2) + 75 = 0,
0 + 400t + 80 + 225t – 30 + 75 = 0,
625t = -125,
t = -125/625 = -1/5.
Подставим значение t в выражения переменных.
x = 1,
y = 20*(-1/5) + 4 = 0,
z = -15*(-1/5) + 2 = 5.
Найдена точка E пересечения перпендикуляра из точки D и плоскости АВС, она же является проекцией точки D на заданную плоскость.
ответ: Е(1; 0; 5).
В 1964-ом году в свет вышел повесть "Седьмая симфония", написанная Тамарой Сергеевной Цинбергом.
В конце войны Тамара Сергеевна Цинберг прочитала Эрнесту наброски к фильму о блокадном Ленинграде. Первый слушатель был выбран неслучайно. Эрнест как никто другой понимал, как много подробностей, деталей недавних событий, описанных в киносценарии, отражало их собственную блокадную жизнь. Один из ведущих мотивов сюжета — сохранение человеческого достоинства несмотря на все лишения и испытания. В доме Цинбергов это чувство воспитывалось ежедневно. Роза Владимировна строго следила за тем, чтобы на стол стелилась скатерть и подавались приборы каждый раз, когда семья собиралась обедать студнем из варёного столярного клея. Цинберг написала о том, что ей было известно, выстрадано и преодолено.
В начале 1960-х годов Тамара Сергеевна отнесла рукопись Ю. П. Герману на отзыв. Сценарий ему понравился. Однако, понимая, что добиться постановки кинофильма будет трудно, Герман посоветовал написать на основе сценария повесть и опубликовать её в Детгизе. Тамара Сергеевна так и поступила.
В 1964 году книга была опубликована в издательстве Детгиз. Цинберг посвятила её памяти своего отца.
Книга имела успех. Почти сразу же был напечатан дополнительный тираж. Автор получала много положительных отзывов, писем, особенно от учителей, которые читали, изучали, комментировали текст на уроках литературы.
Повестью заинтересовались на киностудии «Ленфильм». В 1966 году по мотивам повести «Седьмая симфония» был снят фильм «Зимнее утро». Его афишу создала Тамара Сергеевна Цинберг.
