Квадратное уравнение
План:
Введение
1 Геометрический смысл
2 Получение формулы для решения
3 Уравнение с вещественными коэффициентами
3.1 Другие записи решений
3.2 Приведённое квадратное уравнение
3.3 Мнемонические правила
4 Уравнение с комплексными коэффициентами
5 Теорема Виета
5.1 Мнемоническое правило
6 Разложение квадратного уравнения на множители
7 Уравнения, сводящиеся к квадратным
7.1 Алгебраические
7.2 Дифференциальные
Примечания
Введение
Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида
ax^2 + bx + c = 0, \quad a \ne 0.
Коэффициент с называется свободным членом этого уравнения.
Поделив уравнение общего вида на a, можно получить так называемое приведённое квадратное уравнение:
x^2 + px + q = 0, \quad p=\frac{b}{a}, \quad q=\frac{c}{a}.
1. Геометрический смысл
Квадратное уравнение.gif
Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют точки пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня. (См. изображение справа.)
Если коэффициент а положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент b положительный, то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.
2. Получение формулы для решения
Формулу можно получить следующим образом:
ax2 + bx + c = 0,
ax2 + bx = − c
Умножаем каждую часть на 4a и прибавляем b2:
4a2x2 + 4abx + b2 = − 4ac + b2
(2ax + b)2 = − 4ac + b2
2ax + b = \pm\sqrt{-4ac + b^2}
3. Уравнение с вещественными коэффициентами
Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами a,~b,~c может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта D = b2 − 4ac:
при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}; (1)
при D = 0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
x = \frac{-b}{2a};
при D < 0 вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой
x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-b^2+4ac}}{2a}.
3.1. Другие записи решений
Вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение
x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2-ac}}a,
где k = b / 2. Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном b, то есть для уравнений вида ax2 + 2kx + c = 0.
3.2. Приведённое квадратное уравнение
Квадратное уравнение вида x2 + px + q = 0, в котором старший коэффициент a равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до
x_{1,2}= -\frac p2 \pm \sqrt{\left( \frac p2 \right)^2-q}.
Если уравнение записать в виде x2 + 2px + q = 0, то формула будет ещё проще:
x_{1,2}= -p \pm \sqrt{p^2-q}.
