1) 12 * 3 = 36 (км) - проехал велосипедист до выезда мотоциклиста; 2) 235,5 - 36 = 199,5 (км) - расстояние, которое они проехали вместе; 3) 12 + 45 = 57 (км/ч) - скорость сближения; 4) 199,5 : 57 = 3,5 (ч) - через 3,5 ч они встретились; 5) 3 + 3,5 = 6,5 (ч) - ехал велосипедист до встречи; 6) 12 * 6,5 = 78 (км) - расстояние от пункта А, где произошла встреча. ответ: 1) 6,5 часов; 2) на 78 км от А.
Проверка: 12 * 6,5 = 78 км - проехал велосипедист до встречи 45 * 3,5 = 157,5 км - проехал мотоциклист до встречи 78 + 157,5 = 235,5 км - расстояние между А и В.
2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x), и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞.
3) Функция не периодическая.
4) Так как y=0 только при x=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.
5) Функция имеет разрыв второго рода в точке , причем , . Попутно отметим, что прямая – вертикальная асимптота.
6) Находим и приравниваем ее к нулю: , откуда x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На экстремум надо исследовать только точку x=3 (точку x2=0 не исследуем, так как она является граничной точкой промежутка [0, +∞)).
В окрестности точки x3=3 имеет: y’>0 при x<3 и y ’<0 при x>3, следовательно, в точке x3 функция имеет максимум, ymax(3)=-9/2.
Найти первую производную функции
Для проверки правильности нахождения минимального и максимального значения.
7) Находим . Видим, что y’’=0 только при x=0, при этом y”<0 при x<0 и y”>0 при x>0, следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Иногда направление вогнутости может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить знак y” и около точек разрыва функции. В нашем случае y”>0 на промежутке (0, ) и y”<0 на (, +∞), следовательно, на (0, ) кривая вогнута и выпукла на (, ∞).
Найти вторую производную функции
8) Выясним вопрос об асимптотах.
Наличие вертикальной асимптоты установлено выше. Ищем горизонтальные: , следовательно, горизонтальных асимптот нет.
