Найдите значение выражения
(cos²67,5°-cos²22,5°)·cos67,5°·cos22,5°

Для нахождения значения данного выражения, мы должны следовать некоторым шагам:

Шаг 1: Разложение угла
Первым шагом является разложение угла 67,5° в сумму двух углов, а именно 45° и 22,5°. Это можно сделать, используя формулу суммы для тройного угла: cos(3α) = 4cos³α - 3cosα. Применим эту формулу к углу 45°:

cos(3*45°) = 4cos³45° - 3cos45°
cos(135°) = 4(√2/2)³ - 3√2/2
cos(135°) = 4√2/8 - 3√2/2
cos(135°) = 4√2/8 - 12√2/8
cos(135°) = (4√2 - 12√2)/8
cos(135°) = -8√2/8
cos(135°) = -√2/√2
cos(135°) = -1

Теперь мы знаем, что cos 67,5° равно √2/2, а cos 22,5° равно √2/√2 - 1/√2 = (√2 - 1)/√2.

Шаг 2: Расчет
Теперь, когда у нас есть значения cos 67,5° и cos 22,5°, мы можем подставить их в данное выражение:

(cos²67,5° - cos²22,5°) * cos67,5° * cos22,5°
= ([√2/2]² - [(√2 - 1)/√2]²) * (√2/2) * [(√2 - 1)/√2]
= (2/4 - (√2 - 1)²/2) * (√2/2) * (√2 - 1)/√2
= (1/2 - (√2 - 1)²/2) * (√2/2) * (√2 - 1)/√2
= (1/2 - (√2 - 1)²/2) * (√2/2) * (√2 - 1)/√2
= (1/2 - [2 - 2√2 + 1]/2) * (√2/2) * (√2 - 1)/√2
= (1/2 - (3 - 2√2)/2) * (√2/2) * (√2 - 1)/√2
= (1 - 3 + 2√2)/2 * (√2/2) * (√2 - 1)/√2
= (-2 + 2√2)/2 * (√2/2) * (√2 - 1)/√2
= -1 * (√2/2) * (√2 - 1)/√2
= -1 * (√2 - 1)/2

Итак, значение выражения (cos²67,5° - cos²22,5°) * cos67,5° * cos22,5° равно (-√2 + 1)/2 или (1 - √2)/2.

Надеюсь, этот ответ понятен и полезен для вас! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.