x² + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)
D = 4 + 60 = 64
x12 = (-2 +- 8)/2 = -5 3
---
49 - x² = (7 - x)(7 + x)
---
(x² + 2x - 15)/(x² + 1)(49 - x²)x < 0
(x + 5)(x - 3)/(x² + 1)(7 - x)(7 + x)x < 0
так как строгое неравенство, то все точки выколотые, все переносим в числитель
отбрасываем x² + 1 > 0 он ни на что не влияет
и меняем 7 - x на x - 7 с заменой знака неравенства
ну и метод интервалов
(x + 5)(x - 3)(x - 7)(x + 7)x > 0
от перемеы мест ничего не меняется, более понятно пишем
(x + 7)(x + 5)x(x - 3)(x - 7) > 0
(-7) (-5) (0) (3) (7)
x ∈ (-7, -5) U (0, 3) U (7, +∞)
В решении.
Объяснение:
Решить неравенство методом интервалов:
5) (х + 10)/(х - 11) <= 0
Приравнять к нулю и решить уравнение:
(х + 10)/(х - 11) = 0
х + 10 = 0
х₁ = -10;
х - 11 = 0
х₂ = 11;
Начертить числовую прямую и отметить на ней схематично вычисленные корни.
-∞ + -10 - 11 + +∞
Определить знак самого правого интервала, для этого придать любое значение х больше 11 и подставить в неравенство:
х = 12;
(12 + 10)/(12 - 11) = 22/1 > 0, значит, плюс.
Влево знаки меняются через корень.
Обозначить знаки интервалов у числовой прямой.
Неравенство < 0, значит, решениями будут интервалы со знаком минус.
Решение неравенства: х∈[-10; 11).
Неравенство нестрогое, скобка квадратная.
Значение х = 11 на числовой прямой с незакрашенным кружочком, а в решении под круглой скобкой, так как это корень знаменателя.
6) (х - 6)(х + 12)/(х - 5) < 0
Приравнять к нулю и решить уравнение:
(х - 6)(х + 12)/(х - 5) = 0
(х - 6)(х + 12) = 0
х - 6 = 0
х₁ = 6;
х + 12 = 0
х₂ = -12;
х - 5 = 0
х₃ = 5;
Начертить числовую прямую и отметить на ней схематично вычисленные корни.
-∞ - -12 + 5 - 6 + +∞
Определить знак самого правого интервала, для этого придать любое значение х больше 6 и подставить в неравенство:
х = 10;
(10 - 6)(10 + 12)/(10 - 5) = 88/5 > 0, значит, плюс.
Влево знаки меняются через корень.
Обозначить знаки интервалов у числовой прямой.
Неравенство < 0, значит, решениями будут интервалы со знаком минус.
Решения неравенства: х∈(-∞; -12)∪(5; 6).
Неравенство строгое, скобки круглые.
