Доказать, исходя из определения предела последовательности. Указать n0(Е).

Обозначим за х скрость течения реки,
22+х скорость теплохода по течению
22-х скорость теплохода против течения
12/(22+х) время, за которое теплоход проплывет 12 км по течению
10/(22-х) время, за которое теплоход проплывет 10 км против течения
По условию задачи эти два времени равны, приравниваем
12,/(22+х) =10/(22-х)
переносим вправо и рприводим к общему знаменателю
получаем числитель 12(22-х) -10(22+х) =0
12*22-12х-10*22-10х=0
Проверка
Скорость по течению 24, пройдет 12 км за 5мин
Скорость против течения 20 пройдет 10км за 5мин
-22х=-44
х=2

Пусть I(x)=∫eˣ*sin(x)*dx. Применим метод "по частям". Пусть u=eˣ, dv=sin(x)*dx, тогда I(x)=u*v-∫v*du. Но du=eˣ*dx, v=∫sin(x)*dx=-cos(x). I(x)=-eˣ*cos(x)+∫eˣ*cos(x)*dx. Пусть теперь I1(x)=∫eˣ*cos(x)*dx. Снова применяем метод "по частям", полагая u=eˣ, dv=cos(x)*dx. Тогда du=eˣ*dx, v=∫cos(x)*dx=sin(x) и I1(x)=eˣ*sin(x)-∫eˣ*sin(x)*dx=eˣ*sin(x)-I(x). Мы получили уравнение: I(x)=-eˣ*cos(x)+eˣ*sin(x)-I(x), или 2*I(x)=eˣ*sin(x)-eˣ*cos(x)=eˣ*[sin(x)-cos(x)]. Отсюда I(x)=eˣ*[sin(x)-cos(x)]/2. ответ: eˣ*[sin(x)-cos(x)]/2.