Решение 1) Если натуральное число не делится на 3, то при делении на 3 оно даёт в остатке 1, или 2. Значит, его можно записать в виде: (3n – 1) или (3n – 2), где n - натуральное число. А) (3n – 1)² - 1 = 9n² – 6n + 1 – 1 = 9n² – 6n = 3*(3n² – 2n), а значит делится на 3 (один из множителей (т.е. 3) делится на 3. Б) (3n – 2)² – 1 = 9n² – 12n + 4 – 1 = 9n² – 12n + 3 = = 3*(n² – 4n + 1), а значит делится на 3 один из множителей (т.е. 3) делится на 3. Таким образом, разность между квадратом числа, которое не делится на 3, и единицей делится на 3 2) эти числа можно представить как 3x+1 и 3x+2, где х - любое натуральное число. Тогда надо проверить на делимость на 3 следующее выражение: (3х+2)² - (3х+1)² = 9x²+ 12x + 4 - 9x² - 6x - 1 = 6x + 3 = = 3*(2x + 1) - а это выражение делится на 3
Арифметическая прогрессия - это последовательность, у которой каждое последующее число получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа d, называемого шагом или разностью. Шаг м.б. как положительным, так и отрицательным числом. 1) Проверим, будет ли постоянным шаг, если из n-го члена последовательности вычесть (n-1)-й член. n-й член нам дан: an = 5n + 3, найдём (n-1)-й: a(n-1) = 5 (n - 1) + 3 = 5n -2. Вычитаем, an - a(n-1) = 5n + 3 - 5n + 2 = 5 = d Получили постоянную, которая не зависит от n, значит, это арифметическая прогрессиия, d = 5. Считаем сумму 10 первых членов по формуле: Sn = (1/2) * (2*a1 + d*(n - 1)) * n Для этого надо знать ещё a1 = 5 *1 + 3 = 8 S10 = (1/2) * (2*8 + 5*(10-1))*10= (16 + 45)*5 = 305
