Задача сводится к теореме Виета.
То, что данное уравнение является квадратным, я думаю, не вызывает сомнений. Но нас смущает то, что при x² стоит 4, разделим почленно уравнение на неё(я буду писать по частям):
x² - (3+2q)/4 * x + 0.5 = 0
Теперь воспользуемся теоремой Виета. Пусть x1 и x2 - корни. Тогда по теореме Виета, x1 + x2 = (3 + 2q) / 4, x1 * x2 = 0.5. Учитывая условие задачи, получаем, что x2/x1 = 8. Таким образом, мы пришли к системе уравнений:
x1 + x2 = (3 + 2q) / 4
x1 * x2 = 0.5
x2/x1 = 8
Теперь как решать будем систему. Система с тремя уравнениями с тремя переменными - она имеет решения. Решать по идее надо бы с метода Гаусса, но здесь можно и проще - через пару минут напишу решение.
Решаем систему подстановки. Выразим из последнего уравнения x2:
x2 = 8x1
и подставим его во второе уравнение системы. Решим полученное уравнение и найдём x1:
8x1² = 1/2
x1² = 1/16
x1 = 1/4 или x1 = -1/4
Теперь рассмотрим оба случая, когда x1 = 1/4 и когда x1 = -1/4
Пусть x1 = 1/4, тогда последовательно находим x2 и q:
x2 = 8 * 1/4 = 2
(3 + 2q) / 4 = 2 + 1/4 = 9/4
Знаменатели равны, дроби равны, значит опускаем числители и приравниваем их:
3 + 2q = 9
2q = 6
q = 3
Первое значение параметра q мы нашли. Но надо проверить, дейсвительно q = 3 нам подходит. Сделаем это, корни мы тоже при этом значении параметра параллельно нашли, найдём отношение корней:
x1 = 1/4; x2 = 2
x2/x1 = 2 : 1/4 = 2 * 4 = 8 - да, q = 3 нам подходит.
Теперь рассмотрим ту ситуацию, когда x1 = -1/4. Аналогично,
x2 = 8 * (-1/4) = -2
(3 + 2q) / 4 = -1/4 - 2 = -9/4
3 + 2q = -9
2q = -12
q = -6
Осуществим уже известную проверку, мало ли что. Корни при этом значении параметра мы уже нашли из системы, значит проверяем:
x1 = -1/4; x2 = -2
x2/x1 = 8 - это случай нам тоже подходит
Таким образом, при q = 3 и q = -6 отношение корней данного уравнения равно 8. задача выполнена.
1. Упростите выражение (2b + a) · (a - 2b) - (2b + a)² и найдите его значение, если a = -0,5 , b = 2.
(2b + a) · (a - 2b) - (2b + a)² = (a + 2b) · (a - 2b) - (4b² + 4ab + a²) = a² - 4b² - 4b² - 4ab - a² = - 8b² - 4ab ; a = -0,5 , b = 2 ⇒ - 8 · 2² - 4 · (-0,5) · 2 = - 8 · 4 + 2 · 2 = - 32 + 4 = - 28.
2. Докажите, что для любого n значение выражения (3n + 1)² - (3n - 1)² кратно числу 12.
(3n + 1)² - (3n - 1)² = ( 3n + 1 - (3n - 1) ) · (3n + 1 + 3n - 1) = 2 · 6n = 12n.
Так как результат умножения любого числа на 12 кратен 12, то значение выражения 12n кратно 12 при любых значениях переменной n, что и требовалось доказать.
