0 = a2(b + c – a) – b2(c + a – b) = (a2 – b2)c – (a2 + b2)(a – b) = (a – b)(ac + bc – a2 – b2) (1). Аналогично, (b – c)(ba + ca – b2 – c2) = 0 (2) и (c – a)(cb + ab – c2 – a2) = 0 (3). Пусть a = b. Тогда из равенства (2) получим, что с(a – c)2 = 0, откуда, учитывая, что с ≠ 0, следует, что и с = a. Аналогично все числа равны, если a = c или b = c. Пусть все числа различны. Тогда a2 + b2 – ac – bc = b2 + c2 – ab – ac = c2 + a2 – bc – ab = 0. Складывая, получим: 0 = 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac – 2bc = (a – b)2 + (b – c)2 + (a – c)2 = 0.
Сейчас можно найти AB по теореме Пифагора: AB^2=AM^2+BM^2 AB^2=12^2+9^2; AB^2=144+81; AB^2=225; AB=15; Теперь можем найти MC: BM^2=AM*MC 9^2=12*MC; MC=81/12; MC=6.75; Теперь также по теореме Пифагора: BC^2=MC^2+BM^2 6.75^2+9^2=BC^2; 45.5625+81=BC^2; BC^2=126.5625; BC=11.25; Теперь, зная все стороны и высоту, можно найти и периметр, и площадь: P(ABC)=15+12+6.75+11.25; P(ABC)=45; S(ABC)=((12+6.75)*9)/2; S(ABC)=84.375;
P.S. Теоремой Пифагора можно воспользоваться, т.к. Высота образует с одной из сторон прямой угол.
