Знайдіть довжину вектора MN, якщо M(3;-4;1) і N(2;-1;0)

1.Решите неравенство методом интервалов

 

-х(в квадрате)-12х<0

 

-x^2-12x<0

-x(x-12)<0

x(x-12)>0

 

ищем критические точки х=0 - первая точка, х-12=0, х=12 - вторая точка

     +             -                    +                   

012>x

 

x=13: x(x-12)=13*(13-12)>0

значитна промежутке (12;+бесконечность) л.ч. неравенства больше 0

при переходе через точку 12, меняем знак с + на -, и получаем, что на промежутке (0;12) л.ч. неравенства меньше 0

при переходе через точку 0 меняем знак с - на + ,и получаем, что на промежутке

(-бесконечность; 0) л.ч неравенства больше 0,

таким образом решением неравенства будет

(-бесконечность; 0)обьединение(12;+бесконечность)

2.При каких значениях параметра m уравнение 

 

4х(в квадрате)-2mx+9=0

 

имеет два различных корня?

уравнение имеет два различных корня если дискриминант больше 0, т.е.

D=(-2m)^2-4*4*9=4m^2-144>0

4(m^2-36)>0

m^2-36>0

(m-6)(m+6)>0

ищем критические точки m+6=0, m=-6 - первая точка, m-6=0, m=6 - вторая точка(-6<6)

 

     +             -                    +                   

 

(-6)6>m

 

 

x=7: (m-6)(m+6)=(7-6)(7+6)>0

 

значитна промежутке (6;+бесконечность) л.ч. неравенства больше 0

 

при переходе через точку 6, меняем знак с + на -, и получаем, что на промежутке (-6;6) л.ч. неравенства меньше 0

 

при переходе через точку -6 меняем знак с - на + ,и получаем, что на промежутке

 

(-бесконечность; -6) л.ч неравенства больше 0,

 

таким образом решением неравенства будет

 

m Є (-бесконечность; -6)обьединение(6;+бесконечность)

 

 

 

sqrt(x+1) + 1 = sqrt((x-1)/x)

Возведем в квадрат:

x+1+1+2*sqrt(x+1) = (x-1)/x

x+2+2*sqrt(x+1) = 1 - 1/x

x+1+2*sqrt(x+1) = - 1/x

2*sqrt(x+1)  = -1/x - x - 1

Снова возведем в квадрат:

4*(x+1) = (-1/x - x - 1)^2

4x + 4 = (1/x + x + 1)^2

4x + 4 = 1/x/x + x*x + 1 + 2 + 2/x + 2x
2x + 1 = 1/x/x + x*x + 2/x
2x + 1 - 1/x/x - x*x - 2/x = 0

Умножим все на x^2:

2x^3 + x^2 - 1 - x^4 - 2x = 0

x^4 -2x^3 - x^2 + 2x + 1  = 0

Так как x=0 не является корнем уравнения,
поделим его на x^2:

x^2 + 1/x^2 - 1 + 2/x - 2x = 0

(1/x - x)*(1/x - x) + 1 + 2/x - 2x = 0

Введем вс переменную t = 1/x - x

t*t + 1 + 2*t = 0
t*t + 2*t + 1 = 0

D=4-4 = 0

t = -2/2 = -1

Таким образом:

1/x - x = -1

1-x*x = -x
x*x - x - 1 = 0
D = 1+4 = 5

x1,2 = (1+-sqrt(5))/2

Теперь выполним подстановку в исходное уравнение и увидим, что подходит только один корень:

x = (1-sqrt(5))/2

ответ правильный, проверено в программе Graph.

Замечание:
Некоторые требуют выполнить проверку без калькулятора и программ :)

Заметим, что в этой задаче x = -(золотое сечение). Как известно, (золотое сечение) = 1 - 1/(золотое сечение).
Поэтому:
(x-1)/x = 2-x =>
sqrt(x+1) - sqrt((x-1)/x) = sqrt(x+1) - sqrt(2-x) = -1;

sqrt(x+1) + 1 = sqrt(2-x);

Возведем в квадрат:

x + 1 + 1 + 2*sqrt(x+1) = 2 - x;
2x + 2*sqrt(x+1) = 0;
x + sqrt(x+1) = 0;
x = -sqrt(x+1);
Заметим, что x отрицателен.

Возведем в квадрат

x*x = x + 1;
x*x - x - 1 = 0;

Решим его и найдем, что x = (1-sqrt(5))/2.

Следовательно, x=(1-sqrt(5))/2 - корень исходного уравнения.