Всем привет о очень смертному.

1) x(7 - x) > 0
Умножаем на -1, при этом меняется знак неравенства
x(x - 7) < 0
По методу интервалов x ∈ (0; 7)

2) x^2*(3 - x)(x + 1) <= 0
Умножаем на -1, при этом меняется знак неравенства
x^2*(x - 3)(x + 1) >= 0
x^2 > 0 при любом x =/= 0. Поэтому x = 0 - это решение.
Делим на x^2
(x - 3)(x + 1) >= 0
По методу интервалов x ∈ (-oo; -1] U [3; +oo)
Добавим решение x=0 и получим:
x ∈ (-oo; -1] U [0] U [3; +oo)

3) 3x^2 - 7x + 2 < 0
D = 7^2 - 4*3*2 = 49 - 24 = 25 = 5^2
x1 = (7 - 5)/6 = 2/6 = 1/3; x2 = (7 + 5)/6 = 12/6 = 2
По методу интервалов x ∈ (1/3; 2)

1
1/2*sin2x+1/2*sin12x-sin2x=0
1/2*sin12x-1/2*sin2x=0
1/2*(sin12x-sin2x)=0
1/2*sin5xcos7x=0
sin5x=0⇒5x=πn,n∈z⇒x=πn/5,n∈z
cos7x=0⇒7x=π/2+πk,k∈z⇒x=π/14+πk/7,k∈z
2
3cos2x-1=cos2x/sin2x*2sin2x*cos2x
3cos2x-1=2cos²2x
cos2x=a
2a²-3a+1=0
D=9-8=1
a1=(3-1)/4=1/2⇒cos2x=1/2⇒2x=+-π/3+2πn⇒x=+-π/6+πn,n∈z
a2=(3+1)/4=1⇒cos2x=1⇒2x=2πk⇒x=πk,k∈z
3
2sin2x*cos2x=-2sin2x*sin3x
2sin2x*(cos2x+sin3x)=0
sin2x=0⇒2x=πn⇒x=πn/2,n∈z
cos2x+sin3x=0
cos2x+cos(π/2-3x)=0
2cos(π/4-x/2)cos(5x/2-π/4)=0
2sin(x/2-π/4)cos(5x/2-π/4)=0
sin(x/2-π/4)=0⇒x/2-π/4=πn⇒x/2=π/4+πn⇒x=π/2+2πn,n∈z
cos(5x/2-π/4)=0⇒5x/2-π/4=π/2+πk⇒5x/2=3π/4+πk⇒x=3π/10+2πk/5,k∈z
4
1/2*sin(-x)+1/2*sin7x+1/2*sin(-7x)+1/2*sin9x=0
1/2*sin9x-1/2*sinx=0
1/2*(sin9x-sinx)=0
1/2*2sin4xcos5x=0
sin4x=0⇒4x=πn⇒x=πn/4,n∈z
cos5x=0⇒5x=π/2+πk⇒x=π/10+πk/5,k∈z