Знайти похідну функції f(x) = x*sinx

Обозначим искомое число как , по условию . Перенесём единицу в левую часть и разложим разность кубов на множители:


Понятно, что , тогда обе скобки-сомножителя - натуральные числа, большие 1. С другой стороны, произведение представляется в виде двух натуральных сомножителей, больших единицы, единственным (с точностью до перестановок . Поэтому , равны либо и , либо и .

Случай 1.
Из первого уравнения следует, что , тогда после подстановки во второе уравнение находим . - действительно простое число, так что нас устраивает.

Случай 2. 
Тут всё немного сложнее: уравнение на квадратное, а не линейное, как в первом случае. Упростив, получаем уравнение , у которого только один натуральный корень .
Подставляем в первое равенство: - простое число, так что и тут нас всё устраивает.

ответ. ,

Х яблок у Володи
ух яблок у Пети
у²х яблок у Коли
После раздачи стало:
х+4 яблок у Володи
ух-2 яблок у Пети
у²х-2 яблок у Коли
Эти числа и составляют арифметическую прогрессию:
1) если (ух-2) среднее число в арифметической прогрессии
х+4+у²х-2=2(ух-2) (сумма наибольшего и наименьшего равна удвоенному среднему)
у²х-2ух+х=-6
х(у²-2у+1)=-6, что невозможно
2)  если (у²х-2) среднее число в арифметической прогрессии
х+4+ух-2=2(у²х-2)
2у²х-ух-х=6
х(2у²-у-1)=6
2у²-у-1=6, но в этом случае нет целых корней
3) если (х+4) – среднее число в арифметической прогрессии
ух-2+у²х-2=2(х+4)
у²х+ух-2х=12
х(у²+у-2)=12
Т.к. у≥2, то у²+у-2≥4 (и является делителем числа 12)
Пусть у=2, тогда х=3, а значит число яблок 3, 6 и 12
Либо у²+у-2=6 или у²+у-2=12, но в этом случае нет целых корней
Следовательно у Володи 3 яблока, у Пети – 6 яблок, у Коли – 12 яблок.
Всего 3+6+12=21 яблоко
ответ: 21