...по действиям, стало быть..
1. Отделим мух от варенья, для чего соберем слева многочлен, а справа тригонометрию ) Получим
2. 81х⁴-18х²+3=2*sin(π/6+πх)
3. Правая часть -2≤2*sin(π/6+πх) ≤2
4. Выделим полный квадрат разности из левой части.
81х⁴-18х²+3=((9х²)²-2*9х²*1+1)-1+3=(9х²-1)²+2
5. Сделаем оценку левой части с учетом правой
-2≤(9х²-1)²+2≤2,
-2-2≤(9х²-1²)²≤2-2; -4≤(9х²-1)²≤0, Квадрат разности не может быть отрицательным, значит, единственное решение получим, при (9х²-1)²=0
6. Вышли на уравнение. 9х²-1=0, (3х-1)(3х+1)=0; откуда х=±1/3
7. Проверка корней.
х=1/3
81*(1/3)⁴+3=cosπ/3+√3*sinπ/3+18/9
1+3=1/2+√3*√3/2+2
4=4, значит, х=1/3-корень исходного уравнения.
Проверим теперь х=-1/3
81*(-1/3)⁴+3=cos(-π/3)+√3*sin(-π/3)+18*(-1/3)²
1+3=1/2-3/2+18/9
4=1 -неверное равенство.
Значит, х= -1/3- не является корнем исходного уравнения.
8. ответ. х=1/3
Угадываем первый корень, его надо искать среди целых делителей свободного члена,т.е. ±1; ±2; ±3; ±6.
Проверкой убеждаемся, что это числа -2;1 ;3.
Действительно,
При х=-2
(-2)⁵-2*(-2)⁴-4*(-2)³+4*(-2)²-5*(-2)+6=-32-32+32+16+10+6=0
При х= 1
1⁵-2*1⁴-4*1³+4*1²-5*1+6=1-2-4+4-5+6=0
При х=3
3⁵-2*3⁴-4*3³+4*3²-5*3+6=243-162-108+36-15+6=0
Остальные подозрительные на корни многочлена числа не расписал с целью экономии времени. т.е. многочлен может быть представлен,как произведение (х+2)(х-1)(х-3)А, где А подлежит определению.
Для этого перемножим числа (х+2)(х-1)(х-3)=(х²-х+2х-2)(х-3)=
(х²+х-2)*(х-3)=х³+х²-2х-3х²-3х+6=х³-2х²-5х+6.
Представим теперь исходный многочлен, как
х⁵-2х⁴-4х³+4х²-5х+6=
х⁵-2х⁴-5х³+х³+6х²-2х²-5х+6=х²*(х³-2х²-5х+6)+1*(х³-2х²-5х+6)=
(х³-2х²-5х+6)(х²+1)=(х+2)(х-1)(х-3)(х²+1)
Вот и все.)
