Найти все первообразные функции f(x)=2sin^4x ​(синус в 4 степени)

Для нахождения первообразной функции f(x) = 2sin^4x (синус в 4-й степени), мы используем метод подстановки.

Шаг 1: Перепишем функцию f(x) в терминах тригонометрической функции cos(x). Для этого воспользуемся формулой двойного угла sin^2x = (1 - cos2x) / 2.

f(x) = 2sin^4x
= 2(sin^2x)^2
= 2((1 - cos2x) / 2)^2
= (1 - cos2x)^2

Шаг 2: Теперь мы имеем функцию f(x) в терминах cos(x). Давайте подставим u = cos(x), чтобы упростить выражение и найти первообразную функцию.

u = cos(x)
du = -sin(x) dx [возможно, нужно пояснить тут, как мы получили это утверждение. Используем основное свойство производной - что производная синуса есть минус косинус. Это можно получить, взяв производную от обеих частей уравнения u = cos(x) по x.]

dx = -du / sin(x)

Теперь подставим это в выражение для f(x):

f(x) = (1 - (cos^2(x))^2
= (1 - u^2)^2

Шаг 3: Заменяем переменные в выражении для функции f(x). Мы заменили x на u по шагу 2, поэтому теперь наша функция f(u) = (1 - u^2)^2.

Шаг 4: Находим первообразную функцию от функции f(u). Интегрируем функцию f(u) по u.

∫f(u) du = ∫(1 - u^2)^2 du

Для нахождения первообразной функции от (1 - u^2)^2, мы используем метод подстановки.

Пусть w = 1 - u^2.
Тогда dw = -2u du
du = -dw / (2u)

Подставим это в наше выражение:

∫(1 - u^2)^2 du = ∫w^2(-dw / (2u))
= -∫w^2 dw / (2u)

Шаг 5: Разложим интеграл на две части:

∫w^2 dw / (2u) = -∫w^2 dw / (2(cos(x)))

Теперь мы интегрируем каждую часть по отдельности.

∫w^2 dw = w^3 / 3

Шаг 6: Подставим обратно значения переменных (вернемся к исходной переменной x).

Помним, что w = 1 - u^2 и u = cos(x).

∫w^2 dw / (2(cos(x))) = -∫(1 - u^2)^2 / (2(cos(x))) du
= -1/2 ∫(1 - cos^2(x))^2 / cos(x) du

Теперь заменим u = cos(x), du = -sin(x) dx:

= -1/2 ∫(1 - u^2)^2 / u du
= -1/2 ∫(1 - u^2)(1 - u^2) / u du
= -1/2 ∫(1 - 2u^2 + u^4) / u du
= -1/2 ∫(1/u - 2u + u^3) du

Шаг 7: Теперь интегрируем каждое слагаемое отдельно.

∫(1/u - 2u + u^3) du = ln|u| - u^2 + u^4 / 4 + C
= ln|cos(x)| - cos^2(x) + cos^4(x) / 4 + C

Таким образом, первообразная функция f(x) = 2sin^4x равна:

F(x) = ln|cos(x)| - cos^2(x) + cos^4(x) / 4 + C

где C - произвольная постоянная.