Обозначим cлагаемые за Х,У,Z
(X+Y+Z)/3>=1
Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом достаточно доказать :
ХУZ>=1
Вернемся к исходным обозначениям
8abc>=(a+b)(b+c)(a+c)
Снова согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом видим
a+b>=2sqrt(ab) b+c>=2sqrt(сb) (a+c)>=2sqrt(ac)
поэтому можим заменить сомножители справа на произведение
2sqrt(ab)*2sqrt(aс)*2sqrt(сb)=8abc, что и доказывает неравенство.
Равенство достигается только при а=с=b
Пусть 1-й трактор вспашет поле за х дней. тогда второй - за х+5 дней. Тогда производительность тракторов 1-го(за один день впашет) 1/х , 2-го 1/(х+5).
Совместно за один день оба трактора вспашут 1/х+1/(х+5), что по условию равно 2/3:4= 1/6 часть поля. Имеем уравнение:
1/х+1/(х+5)=1/4; сводим к общему знаменателю левую часть уравнения.
(х+5+х))/х(х+5)=1/6 ; воспользуемся свойством прпорции, учитывая, что х(х+5)≠0, х≠0,х≠-5;
6(2х+5)=х(х+5);
12х+30=х²+5х;
х²+5х-12х-30=0;
х²-7х-30=0;
По т. Виета: х₁=-3- не удовлетворяет условию задачи, х₂=10.
1-й трактор вспашет поле за 10 дней, второй - за 10+5 = 15 дней.
