Пусть Р - данный периметр сектора, R - радиус круга, α - угол сектора. P = 2R + πRα/180° (сектор ограничен двумя радиусами и дугой, второе слагаемое - длина дуги) πRα/180° = P - 2R α = 180°(P - 2R)/(πR) S = πR²α/360° S = πR²180°(P - 2R)/(360°πR) = R(P - 2R)/2 = 1/2 · PR - R² Рассмотрим площадь как функцию от радиуса: S(R) = - R² + PR/2 График - парабола, ветви которой направлены вниз. Значит, наибольшее значение функция принимает в вершине. Найдем абсциссу вершины: R₀ = (- P/2) / (- 2) = P/4 Т.е. наибольшее значение площади будет у сектора, радиус которого равен четверти от периметра. S = 1/2 · P · P/4 - (P/4)² = P²/8 - P²/16 = P²/8
