Какое наибольшее количество двузначных чисел можно записать в ряд так, чтобы любые два соседних числа имели отличный от 1 общий делитель, на который ни одно из оставшихся чисел не делится?

Есть несколько путей - например, с выделением полного квадрата или через дискриминант.

1. Выделение полного квадрата
Прибавим и вычтем 4:
x^2 - 4x + 4 - 4 - 30 = 0
Заметим, что x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2, приведем подобные:
(x - 2)^2 - 34 = 0
(x - 2)^2 = 34
Извлекаем корень (я его обозначаю sqrt):
x - 2 = +- sqrt(34)
x = 2 +- sqrt(34)

2. Дискриминант.
Если есть уравнение ax^2 + bx + c = 0, то дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, и решение (если D>0) имеет вид x = (-b +- sqrt(D))/2a.
a = 1, b = -4, c = -30.
D = 16 + 120 = 136 = 4 * 34
x = (4 +- sqrt(4 * 34))/2
Можно вынести 4 из под знака корня и сократить на 2:
x = (4 +- 2sqrt(34))/2 = 2 +- sqrt(34)

3. Дискриминант/4
Если уравнение имеет вид ax^2 + 2bx + c = 0, то можно вычислить D* = D/4 = b^2 - ac, решение будет выглядеть так: x = (-b +- sqrt(D*))/a
D* = 4 + 30 = 34
x = (2 +- sqrt(34))/1 = 2 +- sqrt(34)
Последний удобен, если старший коэффициент равен 1 или коэффициент при x чётный.

ответ. x = 2 +- sqrt(34).

task/22381953

Скорость  одного  велосипедиста  обозначаем  x км/ч ,  другого _ y км / ч .           * * * Из условия задачи следует ,что  x  ≠  y , допустим  x  >  y > 0  * * *

До места встречи один км /ч* 1 ч =x км, другой _S₂ =y км/ч*1ч =y км.Один на пути 30 км затрачивает  t₁ =30/x  час, другой _t₂ = 30 / y  час .

Можем составить систему уравнений : { x + y =25 ; 30 / y - 30 / x = 1 .

{ y = 25 - x  ;  30 / (25 - x) - 30 / x  = 1 .⇔ { y = 25 - x ; 30x -30(25 - x) = x(25 - x ) .

30x - 750  + 30x  = 25x - x²  ⇔  x² +35x - 750 = 0  ⇒ [ x = 15 ; x = - 50 →.

* * * D = 35² - 4*1*(-750) =1225 +3000 =4225 =65² ;  x₁ , ₂ = (-35 ± 65)/2 * * *

у =25 - x =25 -15 = 10 (км/ч) .          ответ :  15 км/ч , 10 км/ч .

* * *  y² - 85y + 750 = 0 ⇔ [ y = 10 ; y = 75  > 25 →посторонний корень.  * * *