Знайдіть похідну функції
найдите производную функции
1) f(x) =x+3/2x-5
2) f(x) =(x^2+3x)√x

1. Решение умножения:

(-a) • (3b) • (4a²b) • (5ab²)

Для решения данного умножения нужно перемножить все числа, а также сложить степени переменных. Поэтому умножим числа сначала и затем переменные:

(-1) • (3) • (4) • (5) = -60

a • a² • a • b • b² = a^(1+2+1) • b^(1+2) = a^4 • b^3

Теперь объединим числовую и переменную части:

-60 • a^4 • b^3 = -60(ab)⁴

Таким образом, правильный ответ: 1) -60(ab)⁴

2. Решение выражения:

((3⁴) ² • 3^10) : (3¹⁴)

Для решения данного выражения нужно сначала выполнить возведение в степень, а затем произвести операцию деления:

(81^2 • 3^10) : 3^14 = 6561 • 3^10 : 3^14

Учитывая свойство степеней с одинаковыми основаниями (a^m : a^n = a^(m-n)), у нас получается:

6561 • 3^(10-14) = 6561 • 3^-4

Теперь используем свойство отрицательной степени (a^(-n) = 1/a^n):

6561 • 1/(3^4) = 6561/81 = 81

Таким образом, правильный ответ: 81

3. Расположение чисел в порядке возрастания:

Для определения порядка возрастания чисел, нужно сначала вычислить значения выражений, а затем сравнить их:

1. (-1, 4) = -1, 4
2. (-1, 4) ² = 1, 4² = 1, 16
3. (-1, 4) ³ = -1, 4³ = -1, 64

Теперь расположим числа в порядке возрастания:

-1 < 1 < 4 < 16 < 64

Правильный ответ: 1. (-1, 4), 2. (-1, 4) ², 3. (-1, 4) ³

Для доказательства данного равенства нам понадобится принцип математической индукции.

Принцип математической индукции состоит из двух шагов:
1) Базисный шаг: проверка равенства при n = 1 (или другом начальном значении).
2) Шаг перехода: предположение, что равенство верно для некоторого значения n = k, и доказательство верности равенства для n = k + 1.

Давайте применим эти шаги для данного равенства.

1) Базисный шаг:
Подставим n = 1 в равенство:
2*1 - 3 = 2 - 3 = -1
Таким образом, базисный шаг выполнен.

2) Шаг перехода:
Предположим, что равенство верно для некоторого значения n = k. То есть:
2^k - 3^k = (2 - 3)(2^(k-1) + 2^(k-2)*3 + ... + 3^(k-1))

Докажем равенство для n = k + 1:
Подставим n = k + 1 в левую часть равенства:
2^(k+1) - 3^(k+1)

Раскроем каждое слагаемое в скобках:
2^(k+1) - 3^(k+1) = (2 - 3)(2^k + 2^(k-1)*3 + ... + 3^k) - 3^(k+1)

Вынесем общий множитель за скобки:
=(2 - 3)(2^k + 2^(k-1)*3 + ... + 3^k - 3*3^k)

Упростим вычитание слагаемых:
=(2 - 3)(2^k + 2^(k-1)*3 + ... + 3^k + 3^k)

Заметим, что в скобках стоит равенство, которое мы предположили верным для n = k:
=(2 - 3)(2^(k-1) + 2^(k-2)*3 + ... + 3^(k-1))

Таким образом, мы получили выражение, которое совпадает с правой частью равенства.
То есть, равенство верно и для n = k + 1.

Таким образом, мы доказали равенство
2^n - 3^n = (2 - 3)(2^(n-1) + 2^(n-2)*3 + ... + 3^(n-1)) при любых натуральных значениях n, используя принцип математической индукции.