Объяснение: Разложить многочлен на множители — это значит представить многочлен в виде произведения двух или нескольких множителей.
Например, 2+ 14 + 45 — многочлен представлен в виде суммы одночленов. После разложения на множители многочлен примет вид
(+5)(+9), где +5 и +9 являются множителями.
Пример:
задание. Разложить число 36 на два множителя различными
36 = 2⋅18;36 = 3⋅12;36 = 4⋅9.
Для разложения многочлена на множители используют такие
1. вынесение общего множителя за скобки.
Пример:
задание. Разложить на множители многочлен 7–7.
Решение: 7–7=7(–).
Вынесли общий множитель за скобки, получили произведение двух множителей: 7 и −.
2. Применение формул сокращённого умножения.
Пример:
задание. Разложить на множители многочлен.
Решение: 92−252=322−522=(3)2−(5)2=(3−5)(3+5).
3. Метод группировки.
Пример:
задание. Разложить на множители многочлен.
Решение: 35+7−5−1=(35−5)+(7−1)=5(7−1)+(7−1)=(7−1)(5+1).
Умение раскладывать на множители необходимо для преобразования выражений, при сокращении алгебраических дробей, решении уравнений и неравенств.
Пример:
задание. Упростить выражение.
Решение: 25−2(5+)(13−)=52−2(5+)(13−)=(5−)(5+)(5+)(13−)=5−13−
— в числителе применили формулу «разность квадратов»;
— сократили дробь на выражение 5+а.
Пример:
задание. Решить уравнение:
42+8−−2=0;(42−)+(8−2)=0;(4−1)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯+2(4−1)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯=0;(4−1)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯(+2)=0;
4−1=0;4=1;1=0,25; или +2=0;=−2;2=−2.
ответ: −2;0,25
— сгруппировали;
— вынесли общие множители за скобки в каждой скобке;
— вынесли общие множители слагаемых за скобки.
Подробнее перечисленные выше рассмотрим далее, в отдельных темах.
Задача 1
Пусть x км/ч - собственная скорость лодки
Тогда (x + 2) км/ч - скорость лодки по течению
(x - 2) км/ч - скорость лодки против течения
Составим уравнение:
(x + 2) * 7 + (x - 2) * 3 = 138
7x + 14 + 3x - 6 = 138
10x + 8 = 138
10x = 138 - 8
10x = 130
x = 130 : 10
x = 13 (км/ч)
ответ: 13 км/ч - собственная скорость лодки.
Задача 2
Пусть x деталей изготовил первый цех
Тогда 1,5x деталей - второй цех
(1,5x - 65) деталей - третий цех
Всего деталей - 655 шт.
Составим уравнение:
x + 1,5x + (1,5x - 65) = 655
x + 1,5x + 1,5x - 65 = 655
4x - 65 = 655
4x = 655 + 65
4x = 720
x = 720 : 4
x = 180 (дет.) первый цех
1,5x = 1,5 * 180 = 270 (дет.) второй цех
(1,5x - 65) = 270 - 65 = 205 (дет.) третий цех
ответ: 180 деталей - первый цех, 270 деталей - второй цех, 205 деталей - третий цех.
