y-f(x₀)=f`(x₀)(x-x₀)- уравнение касательной
f`(x) = -2x - 7
f`(x₀) = - 2x₀ - 7
f(x₀) = - x²₀ - 7x₀ + 8
y - ( -x²₀ - 7x₀ + 8) = ( -2x₀ - 7) ·(x - x₀) - уравнение касательной
к кривой y=f(x) в точке (х₀;f(x₀))
1) Точка M(1;1) принадлежит касательной,
значит ее координаты удовлетворяют уравнению касательной..
Подставим х=1; y=1
1 - ( -x²₀ - 7x₀ + 8) = ( -2x₀ - 7) ·(1 - x₀)
Получили уравнение, содержащее только x₀
Решаем его.
1 + x²₀ +7x₀ - 8=-2x₀-7 +2x²₀+7x₀;
x²₀-2x₀=0
x₀=0 или х₀=2
y-8=-7(x-0)
y=-7x+8
или
y+10=-11(x-2)
y=-11x+12
2) Точка M(0;9) принадлежит касательной,
значит ее координаты удовлетворяют уравнению касательной..
Подставим х=0; y=9
9 - ( -x²₀ - 7x₀ + 8) = ( -2x₀ - 7) ·(0 - x₀)
Получили уравнение, содержащее только x₀
Решаем его.
9 + x²₀ +7x₀ - 8=2x²₀+7x₀;
x²₀- 1 =0
x₀=1 или х₀=-1
y - 0= -9(x-1)
y=-9x+9
или
y-14=-5(x-(-1))
y=-15x+9
Подкоренное выражение 7х - х² должно быть положительным или равным нулю, потому что извлекать квадратный корень из отрицательного числа нельзя.
7х - х² ≥ 0.
Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули функции.
7х - х² = 0.
Вынесем за скобку общий множитель х.
х(7 - х) = 0.
Произведение двух множителей равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю.
1) х = 0;
2) 7 - х = 0;
х = 7.
Отметим на числовой прямой точки 0 и 7.
Эти числа делят числовую прямую на интервалы 1) (-∞; 0], 2) [0; 7], 3) [7; +∞).
Выясним, на каком из интервалов выражение 7х - х² будет принимать положительные значения. На 1 и 3 интервалах это выражение отрицательно, на 2 итервале - положительно. Поэтому, значения х, принадлежащие 2 интервалу являются областью определения функции.
ответ. [0; 7].
