Зависимость анализа, синтеза и сравнение в решение задач.

Графически мы имеем 2 прямоугольных треугольника с площадями по 150 каждый и гипотенузами по 25. площадь прямоуг. треуг-ка S=ab/2, а квадрат гипотенузы (25) равен сумме квадратов катетов (искомых сторон). тогда имеем систему уравнений:

ab=300 =>b=300/a. Подставляем b в первое уравнение, имеем: a^2+90.000/a^2=625 => a^4+90.000=625a^2 => a^4-625a^2+90.000=0
Заменяем a^2 на х, получаем обычное квадратное уравнение x^2-625a+90.000=0
Дискриминант этого ур-я равен 30625, а его корень равен 175 (надеюсь, формулу дискриминанта, которая b^2-4ac, напоминать не надо?)
корни ур-я ищем по формуле и получаем два корня уравнения, равные 225 и 400. Это, как мы помним, a^2, извлекая из каждого значения кв. корень получим два значения а: а1=15, а2=20.
Подставляя их в формулу b=300/a получим значения.... b1=20, b2=15. Следовательно стороны прямоугольника имеют 15 и 20 см длины соответственно

Дано:

S(прямоугольник)=a*b=108 см²

d(диагональ)=15 см

Найти: длины сторон прямоугольника a=? см, b=? см

Диагональ делит прямоугольник на 2 равных прямоугольных треугольника, где a и b - катеты, d (с) - гипотенуза. Каждый из треугольников имеет площадь S=1/2ab=1/2*108=54 cм²

   По теореме Пифагора,

a²+b²=c²

a²+b²=15² см

{a²+b²=225

{a*b=108 => a=108/b

108/b)²+b²=225

11664/b²+b²=225  Привести к общему знаменателю:

11664+b⁴-225b²=0 Произвести замену неизвестного:

t=b²

t²-225t+11664=0

D=(-225)²-4*11664=50625-46656=3969     √3969=63

t₁=(225+63)/2=144

t₂=(225-63)/2=81

b₁=√t₁=12

b₂=√t₂=9

a₁=108/12=9

a₂=108/9=12

ответ: длины сторон прямоугольника a=12 cм, b=9 cм, или, наоборот: a=9 см, b=12 см, потому. что, при перестановке множителей произведение не меняется: 12*9=108 = 9*12=108

Проверка: S(прямоугольного треугольника) = 1/2ab

                   S=54 cм²

                   (1/2)*12*9=108/2=54 см²