а) Преобразуйте выражение, чтобы получить многочлен стандартного вида. Укажите степень многочлена.
(2х² - 2)² - 4х³(х³ + х² - х - 2) + 4(х²)³ + 20х⁹/5х⁴ - 2(4х³ + 1) =
= 4х⁴ - 8х² + 4 - 4х⁶ - 4х⁵ + 4х⁴ + 8х³ + 4х⁶ + 4х⁵ - 8х³ - 2 =
= 8х⁴ - 8х² + 2. Стандартный вид. Степень (х⁴) = 4.
б) Докажите, что при любых целых значениях x многочлен делится на 2.
Вынести общий множитель 2 за скобки;
8х⁴ - 8х² + 2 = 2(4х⁴ - 4х² + 1). Полученное выражение при любых целых значениях х делится на 2.в) Докажите, что при любых действительных значениях x многочлен не может принимать отрицательных значений.
После вынесения общего множителя 2 в скобках будет квадрат суммы, который больше 0 при любом значении
2(4х⁴ - 4х² + 1) = 2(2х² + 1)².
Квадрат суммы трех последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 1534. Найдите эти числа.
Решение
Примем
а1-первое натуральное число,
а2-второенатуральное число
а3-третье натуральное число
тогда
(а1+а2+а3)^2=a1^2+a2^2+a3^2+1534
a2=a1+1
a3=a2+1=a1+2
тогда
(а1+a1+1+a1+2)^2=a1^2+(a1+1)^2+(a1+2)^2+1534
(3*а1+3)^2-a1^2-(a1+1)^2-(a1+2)^2-1534=0
9*a1^2+18*a1+9-a1^2-a1^2-2*a1-1-a1^2-4*a1-4-1534=0
6*a1^2+12*a1-1530=0
Решаем при дискриминанта (см. ссылку) и получаем:
15; -17, но т.к. числа должны быть натуральными, то значит -17 не подходит
а1=15
а2=16
а3=17
ответ: 15; 16; 17
