Докажите, что, каковы бы ни были целые числа a, b, c, число a² + b² + c² + 1 не делится на 8

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Проверим базовый случай.
Подставим вместо a, b и c конкретные значения целых чисел:
a = 0, b = 0, c = 0. Тогда выражение a² + b² + c² + 1 примет вид 0 + 0 + 0 + 1 = 1.
Число 1 не делится на 8, поэтому базовый случай верен.

Шаг 2: Предположим, что для некоторых целых чисел a, b и c выражение a² + b² + c² + 1 не делится на 8.
Докажем, что в этом случае и для чисел a+1, b+1 и c+1 утверждение также будет верно.

Рассмотрим выражение (a+1)² + (b+1)² + (c+1)² + 1:
(a+1)² = a² + 2a + 1
(b+1)² = b² + 2b + 1
(c+1)² = c² + 2c + 1

Подставляем эти значения в исходное выражение:
(a+1)² + (b+1)² + (c+1)² + 1 = a² + b² + c² + 2a + 2b + 2c + 3

Разложим это выражение на сумму:
(a² + b² + c² + 1) + (2a + 2b + 2c + 2)

Заметим, что второе слагаемое является четным числом, так как каждое из чисел a, b и c может быть как четным, так и нечетным. Поэтому, если a² + b² + c² + 1 не делится на 8, то и (a+1)² + (b+1)² + (c+1)² + 1 не будет делиться на 8.

Шаг 3: Исходя из базового случая и предположения, мы можем сделать вывод, что утверждение a² + b² + c² + 1 не делится на 8 верно для всех целых чисел a, b и c.

Таким образом, мы доказали, что, каковы бы ни были целые числа a, b, c, число a² + b² + c² + 1 не делится на 8.