Войти Регистрация Спроси ai-bota

(y²-2xy)dx+x²dy=0 диф. уравнение

Нажмите на рекламу ниже и сразу увидите ответ

↓

Популярные вопросы:

den751

22.12.2020 04:23

Как решать такое: ^3корень из 54•36•24 2 корень ^3 из 9• 3корень ^3 из 24...

Marinap0385

22.12.2020 04:23

Решить три пятых икс ровно минус девять десятых...

15kristina

22.12.2020 04:23

Решите номер 1 а)(а-4в)(а+4в) б)5а(а+-3) номер 2 а)6а+6в-с(а+в)...

mashuljka33

22.12.2020 04:23

Выражение и найдите его значение: 14a-12b-a-b, если a=2/7, b= - 5/7 решить !...

hanter13

22.12.2020 04:23

Составьте числовое выражение, значение которого равно 3 одна пятая, использую только сложение и деление...

Dhcfyfhffdh

12.10.2022 10:19

Реши графически уравнение q√=−q2. Выбери правильный вариант ответа: q=1 q=0 q1=0и q2=1 q=4...

jijafhv4636

12.10.2022 10:19

Две бригады работников ложили тротуарную плитку. Каждая бригада должна была положить 2400 плиток. Первая бригада ложила х тротуарных плиток каждый час, а вторая - на 50 плиток...

kutirev123p

29.07.2022 08:10

Неповним квадратом різниці виразів х і у є :А) х2-ху+у2Б) х2+2ху+у2Д)х2+ху-у2...

Kir2905

25.08.2020 04:27

Решить неравенство: 3^(2x+3)+3^(2x)-30 0...

arte6767

25.08.2020 04:27

Найдите сумму многочленов. 5-7,6a^2+5,1ab-3,4ab^2 и 5,2a^2-1,4b^2a мне кажется что это уравнение неправильное просто всех нах спросил друзей никто незнает я ток что из школы...

Ответ:

bgi432

13.09.2020 21:48

(y^2-2xy)dx+x^2dy=0

Разделим на :

$y^2-2xy+x^2\cdot\dfrac{dy}{dx}= 0$

Разделим на x^2 :

$\dfrac{y^2}{x^2} -2\cdot\dfrac{y}{x} +\dfrac{dy}{dx}= 0$

$\left(\dfrac{y}{x}\right)^2 -2\cdot\dfrac{y}{x} +y'= 0$

Замена:

$\dfrac{y}{x} =t$

$\Rightarrow y=tx$

$\Rightarrow y'=t'x+tx'=t'x+t$

Получим уравнение:

t^2 -2t +t'x+t= 0

t^2 -t +t'x= 0

t'x= t-t^2

$x\cdot\dfrac{dt}{dx} = t-t^2$

$\dfrac{dt}{ t-t^2} =\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{dt}{ t-t^2} =\int\dfrac{dx}{x}$

Чтобы найти интеграл, стоящий в левой части, подынтегральную дробь представим в виде суммы составляющих:

$\dfrac{1}{ t-t^2}=\dfrac{A}{t} +\dfrac{B}{1-t} =\dfrac{A(1-t)+Bt}{t(1-t)} =\dfrac{A-At+Bt}{t(1-t)} =\dfrac{(B-A)T+A}{t(1-t)}$

Дроби равны, знаменатели равны. Значит, равны и числители:

1=(B-A)t+A

Условие равенства:

$\begin{cases} A=1 \\ B-A=0 \end{cases}$

$\begin{cases} A=1 \\ B=A=1 \end{cases}$

Значит, дробь раскладывается на составляющие следующим образом:

$\dfrac{1}{ t-t^2}=\dfrac{1}{t} +\dfrac{1}{1-t}$

Возвращаемся к интегрированию:

$\int\dfrac{dt}{ t-t^2} =\int\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{dt}{ t}+\int\dfrac{dt}{1-t} =\int\dfrac{dx}{x}$

Для второй дроби выполним подведение под знак дифференциала:

$\int\dfrac{dt}{ t}-\int\dfrac{d(1-t)}{1-t} =\int\dfrac{dx}{x}$

Интегрируем:

$\ln|t|-\ln|1-t|=\ln|x|-\ln|C|$

$\ln\left|\dfrac{t}{1-t}\right|=\ln\left|\dfrac{x}{C}\right|$

$\dfrac{t}{1-t}=\dfrac{x}{C}$

Обратная замена:

$\dfrac{\frac{y}{x} }{1-\frac{y}{x} }=\dfrac{x}{C}$

$\dfrac{y }{x-y }=\dfrac{x}{C}$

$\dfrac{x-y }{y }=\dfrac{C}{x}$

$\dfrac{x }{y }-1=\dfrac{C}{x}$

$\dfrac{x }{y }=1+\dfrac{C}{x}$

$\dfrac{x }{y }=\dfrac{x+C}{x}$

$\boxed{y=\dfrac{x^2}{x+C}}$

0,0(0 оценок)

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку