Вычислите:
а) arcos 1 –arccos (- 1/2)+ arccos √3/2
б) arcsin (- 1/2)+arcsin √2/2 - arcsin (- √3/2)
в) arctg √3 - arctg 1 + arcctg (- √3)
г ) sin (arctg (- 1))

Решите уравнения:
а) 2cos x - √2 = 0
б) 2sin x - √3 = 0
в) √3tg x – 1 = 0
г) ctg x + √3 = 0
д) 2cos(2x + П/4) = - √2
е) sin(x/3 + П/4) = - 1
ж) 2〖sin〗^2х + sin⁡х - 1 = 0

а) Для вычисления выражения а) мы можем воспользоваться формулой дополнительного угла для арккосинуса:

arcos x + arccos y = arccos (xy - (1 - x^2)(1 - y^2)^0.5)

Используя эту формулу, мы можем записать выражение а) в следующем виде:

arcos 1 –arccos (- 1/2)+ arccos √3/2 = arccos [1*(-1/2) - (1 - 1^2)(1 - (-1/2)^2)^0.5] + arccos (√3/2) = arccos (-1/2) + arccos (√3/2)

Так как мы знаем, что arccos (-1/2) = 2π/3 и arccos (√3/2) = π/6, мы можем заменить это возвратными значениями:

arcos 1 –arccos (- 1/2)+ arccos √3/2 = 2π/3 + π/6 = 2π/3 + π/6 = 5π/6

Ответ: 5π/6

б) Точно так же, мы можем воспользоваться формулой дополнительного угла для arcsin:

arcsin x + arcsin y = arcsin(xy + (1 - x^2)(1 - y^2)^0.5)

Используя эту формулу, мы можем записать выражение б) в следующем виде:

arcsin (- 1/2)+arcsin √2/2 - arcsin (- √3/2) = arcsin [(-1/2)*(√2/2) + (1 - (-1/2)^2)(1 - (√2/2)^2)^0.5] - arcsin (- √3/2)

Так как мы знаем, что arcsin (-1/2) = -π/6, arcsin (√2/2) = π/4 и arcsin (-√3/2) = -π/3, мы можем заменить это возвратными значениями:

arcsin (- 1/2)+arcsin √2/2 - arcsin (- √3/2) = -π/6 + π/4 - (-π/3) = -π/6 + π/4 + π/3 = 5π/12

Ответ: 5π/12

в) Для вычисления выражения в) мы можем использовать формулу разности для арктангенса:

arctg x - arctg y = arctg [(x - y) / (1 + xy)]

Используя эту формулу, мы можем записать выражение в) в следующем виде:

arctg √3 - arctg 1 + arcctg (- √3) = arctg [(√3 - 1) / (1 + √3)] - arcctg (√3)

Так как мы знаем, что arctg (√3) = π/3, мы можем заменить это возвратным значением:

arctg √3 - arctg 1 + arcctg (- √3) = arctg [(√3 - 1) / (1 + √3)] - π/3

Ответ: arctg [(√3 - 1) / (1 + √3)] - π/3

г) Для вычисления выражения г) мы можем использовать тригонометрическое тождество:

sin(arctg x) = x / √(1 + x^2)

Используя это тождество, мы можем записать выражение г) в следующем виде:

sin (arctg (- 1)) = (-1) / √(1 + (-1)^2) = (-1) / √(1 + 1) = (-1) / √2 = -√2 / 2

Ответ: -√2 / 2

Теперь рассмотрим уравнения:

а) 2cos x - √2 = 0

Для решения этого уравнения, мы должны избавиться от косинуса. Разделим обе части уравнения на 2:

cos x - √2/2 = 0

Теперь мы можем использовать показательную формулу для косинуса:

cos x = Re(e^(ix)) = Re(cos x + i sin x) = cos x

Теперь можем записать уравнение в виде:

cos x - √2/2 = 0

подставляем выражение для косинуса:

cos x - √2/2 = 0
e^(ix) - √2/2 = 0
e^(ix) = √2/2

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих частей:

ix = ln (√2/2)

Теперь можем найти значение x, разделив обе части на i:

x = (ln (√2/2))/i

Ответ: x = (ln (√2/2))/i

б) 2sin x - √3 = 0

Для решения этого уравнения, мы должны избавиться от синуса. Разделим обе части уравнения на 2:

sin x - √3/2 = 0

Теперь мы можем использовать показательную формулу для синуса:

sin x = Im(e^(ix)) = Im(cos x + i sin x) = sin x

Теперь можем записать уравнение в виде:

sin x - √3/2 = 0

подставляем выражение для синуса:

sin x - √3/2 = 0
e^(ix) - √3/2 = 0
e^(ix) = √3/2

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих частей:

ix = ln (√3/2)

Теперь можем найти значение x, разделив обе части на i:

x = (ln (√3/2))/i

Ответ: x = (ln (√3/2))/i

в) √3tg x – 1 = 0

Для решения этого уравнения, мы должны избавиться от тангенса. Добавим 1 к обеим частям уравнения:

√3tg x = 1

Теперь можем записать уравнение в виде:

tg x = 1/√3

Теперь можем использовать тригонометрическое тождество:

tg (arctg x) = x

Теперь можем найти значение x, подставив tg x = 1/√3:

x = 1/√3

Ответ: x = 1/√3

г) ctg x + √3 = 0

Для решения этого уравнения, мы должны избавиться от котангенса. Перенесем √3 на другую сторону уравнения:

ctg x = -√3

Теперь можем использовать тригонометрическое тождество:

ctg (arctg x) = x

Теперь можем найти значение x, подставив ctg x = -√3:

x = -√3

Ответ: x = -√3

д) 2cos(2x + П/4) = - √2

Для решения этого уравнения, мы должны избавиться от косинуса. Разделим обе части уравнения на 2:

cos(2x + П/4) = - √2/2

Теперь можем использовать формулу двойного угла для косинуса:

cos(2x + П/4) = cos^2(x) - sin^2(x)

Теперь можем записать уравнение в виде:

cos^2(x) - sin^2(x) = - √2/2

Мы также знаем, что cos^2(x) + sin^2(x) = 1. Подставим это значение:

1 - sin^2(x) - sin^2(x) = - √2/2

2sin^2(x) = 1 + √2/2

sin^2(x) = (1 + √2/2) / 2

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

sin(x) = ±√[(1 + √2/2) / 2]

Теперь можем найти значение x, найдя обратный синус:

x = arcsin(±√[(1 + √2/2) / 2])

Ответ: x = arcsin(±√[(1 + √2/2) / 2])

е) sin(x/3 + П/4) = - 1

Для решения этого уравнения, мы должны избавиться от синуса. Перенесем -1 на другую сторону уравнения:

sin(x/3 + П/4) + 1 = 0

Теперь можем использовать формулу суммы для синуса:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Теперь можем записать уравнение в виде:

sin(x/3)cos(П/4) + cos(x/3)sin(П/4) + 1 = 0

Мы также знаем, что sin(П/4) = cos(П/4) = √2/2. Подставим это значение:

(sin(x/3) + cos(x/3)) * √2/2 + 1 = 0

Теперь можем записать это в виде:

(sin(x/3) + cos(x/3)) √2 + 2 = 0

(sin(x/3) + cos(x/3)) = -2 / √2

(sin(x/3) + cos(x/3)) = -√2

Теперь можем использовать тригонометрическое тождество:

sin(arcsin x) = x

(sin(x/3) + cos(x/3)) = -√2

Теперь можем найти значение x, подставив sin(x/3) + cos(x/3) = -√2:

-√2 = -√2

Ответ: -√2 = -√2

ж) 2〖sin〗^2х + sin⁡x - 1 = 0

Для решения этого уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение. Перепишем уравнение в стандартной форме:

2sin^2(x) + sin(x) - 1 = 0

Для решения квадратного уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 2, b = 1 и c = -1. Подставим значения и найдем значение D:

D = (1)^2 - 4(2)(-1)
D = 1 + 8
D = 9

Теперь можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √D) / 2a

Подставим значения и найдем значения x:

x = (-1 ± √9) / 2(2)

x = (-1 ± 3) / 4

x₁ = (-1 + 3) / 4 = 2/4 = 1/2
x₂ = (-1 - 3) / 4 = -4/4 = -1

Ответ: x₁ = 1/2, x₂ = -1