Найти F = a^4 + (1/a)^4 + 4*(a + 1/a), если a + 1/a = 8.
Наша цель - выразить a^4 + (1/a)^4 через (a + 1/a).
(a + 1/a)^4 = a^4 + 4a*(1/a)^3 + 6a^2*(1/a)^2 + 4a^3*1/a + (1/a)^4 =
= a^4 + (1/a)^4 + 4a^2 + 4*(1/a)^2 + 6 = a^4 + (1/a)^4 + 4*(a^2 + (1/a)^2) + 6
Но с другой стороны
(a + 1/a)^4 = 8^4 = 4096
Дальше.
(a + 1/a)^2 = a^2 + 2a*1/a + (1/a)^2 = a^2 + (1/a)^2 + 2
Но с другой стороны
(a + 1/a)^2 = 8^2 = 64
Значит
a^2 + (1/a)^2 = (a + 1/a)^2 - 2 = 64 - 2 = 62
Отсюда
a^4 + (1/a)^4 = (a + 1/a)^4 - 4*(a^2 + (1/a)^2) - 6 = 4096 - 4*62 - 6 = 3842
F = a^4 + (1/a)^4 + 4*(a + 1/a) = 3842 + 4*8 = 3842 + 32 = 3874
Расстояние от центра окружности до хорды - это всегда перпендикуляр, проведённый к хорде из центра окружности, при этом какая бы ни была хорда, она будет разделена этим перпендикуляром пополам.
Если провести радиусы из центра окружности к двум крайним точкам хорды, то образуется равнобедренный треугольник, основание которого - хорда, а боковые стороны - радиусы окружности.
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию (а это и есть расстояние до хорды) - это и медиана, и биссектриса, значит, она делит наш равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. В любом из них один из катетов равен половине длины хорды, т.е. 12 см, другой катет равен расстоянию от центра окружности до этой хорды, т.е. 5 см, а гипотенуза - радиус окружности.
Найдём радиус по теореме Пифагора (сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы). Очевидно, что мы имеем дело с пифагоровой тройкой 12, 5, 13, поэтому гипотенуза, т.е. радиус окружности, будет равна 13 см.
Диаметр - это удвоенный радиус. 13*2=26 см
ответ: 26 см
