∃ - квантор существования, читается "существует"
∀ - квантор всеобщности, читается "для любого"
Рассмотрим высказывания:
∃x ∃y x+y=2
"существует х и существует у, такие что выполняется условие х+у=2"
Истина. Действительно, такие числа существуют, например (1; 1), (2.5; -0.5) и т.д.
∀x ∀y x+y=2
"для любого х и для любого у выполняется условие х+у=2"
Ложь. Очевидно, не любые два числа в сумме дают 2. Например, это условие не выполняется для чисел (0; 1), (2; -0.5) и т.д.
∃x ∀y x+y=2
"существует х, такой что для любого у выполняется условие х+у=2"
Ложь. Предположим, что существует такой х, равный х₀. Тогда, выразив из формулы у, получим: у=2-х₀. Но так как х₀ - некоторая найденная константа, то и выражение (2-х₀) представляет собой константу. Но левая часть соответствует у, который может быть любым. Константа не может равняться одновременно любому выражению. Значит, такого х существовать не может. Например, если х=3, то равенство выполняется только при условии у=2-3=-1, пара (3; -1), ни при каком другом у с тем же х условие не выполняется.
∀x ∃y x+y=2
"для любого х, существует у, такой что выполняется условие х+у=2"
Истина. Выбирая "любой" х мы всегда можем вычислить соответствующее значение у по формуле у=2-х. Например, если х=π, то у=2-π, пара (π; 2-π), если х=0, то у=2-0=2, пара (0; 2), и т.д.
ответ: истинные высказывания 1, 4; ложные высказывания 2, 3
Функция y = x + 4/3 является линейной, т.к. здесь х в первой степени. Эта функция в общем виде может быть представлена как y = ax + b, где a и b - любые числа ( в нашем случае a = 1, а b = 4/3).
Функция y = x (x + 2) / x может быть преобразована в линейную только при условии, что x не равен 0 (при этом условии можно правую часть выражения сократить на х и получить y = x + 2), но в т.к. функция задана общем виде, без этого ограничения, то она не является линейной. Две последние функции содержат х в отрицательной степени (степень х равна -1), они обе не являются линейными.
