А
— 8
Контрольная работа №5
Квадратные неравенства
Вариант 2
1. Решите неравенство:
а) х2 + 2x – 8 > 0; б) – 2x2 – х +6 = 0; в) 2x2 – 5х +6<0.
​

1) Первый "особый" случай, который виден сразу: a = 1 (тогда обнуляется старший коэффициент).
Подставим a = 1: 
9x^2 - 6x = 0 - 2 корня!
2) t = (a - 1)x^2 + 3x
t^2 - 2t + (1 - a)(1 + a) = 0
Т. Виета: t1 + t2 = 2; t1 t2 = (1 - a)(1 + a)
t = 1 +- a
3) Второй "особый" случай: a = 0 (тогда t1 = t2)
t = 1
-x^2 + 3x = 1
x^2 - 3x + 1 = 0 - 2 корня!
4) (a - 1)x^2 + 3x - (1 + a) = 0    или    (a - 1)x^2 + 3x - (1 - a) = 0
Первое уравнение:
D = 9 + 4(a - 1)(a + 1) = 9 + 4a^2 - 4 = 5 + 4a^2 > 0 - 2 неравных корня есть всегда!
Тогда у второго уравнения не должно быть корней, отличных от корней первого уравнения. Пусть y - общий корень этих уравнений, тогда
(a - 1)y^2 + 3y = 1 + a = 1 - a, т.е. a = 0,
а этот случай уже был рассмотрен ранее.
Теперь найдём, когда у второго уравнения нет решений:
D = 9 - 4(a - 1)^2 < 0
(a - 1)^2 > 9/4
a - 1 > 3/2    или    a - 1 < -3/2
a > 5/2   или    a < -1/2

ответ. a ∈ (-infty, -1/2) U {0} U {1} U {5/2, infty}.

1)Найдем производную,приравняем к 0,чтобы найти критические точки.Определим знаки на интервалах,для определения убывания и возрастания.
f`(x)=3x²-12x-36=3(x²-4x-12)=0
(x²-4x-12)=0  по теореме Виета
x1+x2=4 U x1*x2=-12⇒x1=-2 U x2=6
               +                  _                    +
________________________________________
возр                -2     Убыв         6  возр
возр  x∈(-≈;-2) U (6;≈)
2)При нахождении первообразной степень увеличиваем на 1 и на этот показатель делим неизвестное
F(x)= - 6 - 3x+C= - 2[tex] x^{3} - 3x+C
3)Делаем тоже самое , что в 1.Смена знака с минуса на плюс-минимум
f`(x)=4 -1/x=(4x-1)/x=0
4x-1=0⇒4x=1⇒x=1/4
       _              +
_____________________
                1/4
               min
ymin(1/4)=4*1/4-ln1/4+1=1-ln1+ln4+1=2+ln4
(1/4;2+ln4)