1) 3ˣ < 1 + 12·3⁻ˣ|·3ˣ; (3ˣ)² < 3ˣ + 12; (3ˣ)² - 3ˣ - 12 < 0; (3ˣ)² - 3ˣ - 12 = 0; - квадратное уравнение относительно 3ˣ, отсюда 3ˣ = 4 или 3ˣ = -3 - не имеет решений.
Рисунок во вложении
ответ: (-∞; log₃4)
2) 4·4ˣ < 7·2ˣ + 2; 4·4ˣ - 7·2ˣ - 2 < 0; 4·(2ˣ)² - 7·2ˣ - 2 = 0 - квадратное уравнение относительно 2ˣ, отсюда D = 49 + 32 = 81; √D = 9; 2ˣ = (7 + 9)/8 = 2 или 2ˣ = (7 - 9)/8 = -1/4 - не имеет решений.
Рисунок во вложении
ответ: (-∞; 1).
3) 9ˣ - 6·3ˣ - 27 = 0; (3ˣ)² - 6·3ˣ - 27 = 0; - квадратное уравнение относительно 3ˣ отсюда 3ˣ = 9; x = 2 или 3ˣ = -3 - не имеет решений.
ответ: 2.
Это биквадратное уравнение,
которое решают заменой переменной:
x²=t
Квадратное уравнение:
t²-8t-m=0
должно иметь два корня.
Значит дискриминант этого уравнения должен быть положительным.
D=(-8)²-4·(-m)=64+4m
D>0
64+4m>0⇒4m>-64⇒m>-16
Кроме того оба корня t₁ и t₂ должны быть положительными, чтобы при обратном переходе
уравнения x²= t₁ и x²= t₂ имели каждое по два корня
По теореме Виета
t₁+t₂=8
t₁t₂=-m
сумма положительных t₁ и t₂ равна положительному числу 8
произведение положительных t₁ и t₂ равно (-m)
Значит
(-m)>0⇒m < 0
Значениями m, которые удовлетворяют и первому и второму требованиям являются
m∈(-16;0)
