Ядро в алгебре — характеристика отображения f:A– B ,обозначаемая ker f отражающая отличие f от инъективного отображения, обычно — множество прообразов некоторого фиксированного (нулевого, единичного, нейтрального) элемента e. Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения f множество ker f всегда должно быть тривиально, то есть состоять из одного элемента (как правило, нейтрального элемента из A.
Если множества A и B обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то ker f также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки основной теоремы о гомоморфизме связывают образ Im f и фактормножество A/ker f
x² + (8a – a²)x – a⁴ = 0
Для начала убедимся, что уравнение вообще имеет корни:
D = (8a – a²)² + 4a⁴ -- сумма квадратов не может быть отрицательной, поэтому точно есть хотя бы один корень
По теореме Виета сумма корней исходного уравнения равна –(8a – a²) = a² – 8a. Это уравнение параболы, ветви направлены вверх, корни a₁ = 0, a₂ = 8. Наименьшее значение выражения достигается в вершине параболы при a = (a₁ + a₂) / 2 = 4 и составляет a² – 8a = 4² – 8·4 = –16.
Наименьшее значение суммы корней уравнения равно –16 и достигается при a = 4.
