Самостоятельная работа.
№ 1. Разложите на множители группировки:
а) 3а – 3с + ха – хс;

б) 4а + by + аy + 4b;

в) аb – ас – 4b + 4с;

г) 2а + b + 2а2+ аb;

д) 2х2 - 3х + 4ах – 6а.

№ 2. Выполните умножение:

а) (2 - х) (2 - х); г) (2а + 4b3)(2а - 4b3);

б) (2а – b) (2а + b); д) (0,8 – 10х)(0,8 + 10х).

в) (8 + а)(а – 8);

№ 3. Разложить на множители:

а) 36 – 9а2 ; г) 0,81у2 – 49;

б) 4х2 – 16 ; д) 0,04 – х6.

в) 144а4х2 – 25;

Объяснение:  * * * cos(-α) =cosα ,  sin2α=2sinα*cosα  и формулы

 приведения  * * *

1)  (  1 +sin(4π -(π/2 +α) )+ cos(2π-2α) ) / (2sinα*cosα - sinα) =

(  1 - cosα+ cos2α ) / (2sinα*cosα - sinα) =(2cos²α -cosα) / (2cosα -1)sinα=

(2cosα -1)cosα / (2cosα -1)sinα = ctgα .

2)  ( sin²α - 4sin²(α/2) ) / ( sin²α - 4+4sin²(α/2) ) =

( 4sin²(α/2) cos²(α/2) - 4sin²(α/2) ) / ( 4sin²(α/2) cos²(α/2) - 4(1 -sin²(α/2) ) =

- 4sin²(α/2) (1 - cos²(α/2) ) / - 4cos²(α/2)( 1 -sin²(α/2) ) =

 sin⁴(α/2)  / cos⁴(α/2)= tg⁴(α/2) .

3) (cos²α -sin²α ) / (1+sin2α)  =

|| * * * 1+sin2α= cos²α+sin²α+2sinαcosα =(cosα+sinα)² * * *  ||  

= (cosα -sinα )(cosα+sinα) /(cosα+sinα)²= (cosα -sinα)/(cosα+sinα)  

4)  ( sin(α+β) - sin(α -β) ) / ( sin(α+β) +sin(α -β) ) =

|| sinα -sinβ =2sin( (α -β)/2 ) *cos( (α +β)/2 )   ||

|| sinα+sinβ =2sin( (α+β)/2 ) *cos( (α -β)/2 )    ||

= 2 sinβcosα / 2 sinαcosβ =(cosα / sinα) *(sinβ/cosβ) = ctgα *tgβ =

ctgα / ctg β.

* * * * * * *  по  другому  * * * * * * *

( sin(α+β) - sin(α -β) ) / ( sin(α+β) +sin(α -β) )  =

( sinαcosβ+cosα*sinβ - (sinαcosβ-cosα*sinβ) ) *

1/ ( sinαcosβ+cosα*sinβ+ sinαcosβ-cosα*sinβ ) =

2cosα*sinβ /2 sinαcosβ =ctgα /ctgβ  

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

5) ( (1+cosx)/sinx )*(1+ ( (1 -cosx)/sinx )² ) =

( (1+cosx)/sinx )*(sin²x +1 -2cosx+cos²x )/sin²x  ) =

( (1+cosx)/sinx )*( 2(1 -cosx))/sin²x  ) = 2(1+cosx)(1-cosx) /sin³x =

2(1 - cos²x)  /sin³x =2sin²x/ sin³x = 2 / sinx .

* * * * * * *  по  другому  * * * * * * *

= ( 2cos²(x/2) / 2sin(x/2)*cos(x/2)  )*(1+ ( 2sin²(x/2) / 2sin(x/2)*cos(x/2) )² ) =

(cos(x/2) / sin(x/2) )*( 1 + sin²(x/2) / cos²(x/2)  ) =

(cos(x/2) /sin(x/2) )*( ( cos²(x/2) + sin²(x/2) ) /cos²(x/2)  )  =

(cos(x/2) /sin(x/2) )* ( 1 / cos²(x/2) )  =  1 /( cos(x/2)*sin(x/2) ) =2/sinx

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Воспользуемся равенством

tg α – tg β = tg (α – β) (1 + tg α tg β).

Получаем:

tg x tg 2x tg 3x = tg 3x – tg x + tg 4x – tg 2x,
tg x tg 2x tg 3x = tg 2x (1 + tg x tg 3x) + tg 2x (1 + tg 2x tg 4x),
tg 2x (1 + tg x tg 3x – tg x tg 3x + 1 + tg 2x tg 4x) = 0,
tg 2x = 0 или tg 2x tg 4x = –2.

С первым понятно, что делать. Второе:

tg 2x tg 4x = –2,

tg 2x · 2 tg 2x / (1 – tg² 2x) = –2,
tg² 2x = tg² 2x – 1.

Это равенство невозможно.

Все решения получаются из уравнения tg 2x = 0, то есть 2x = πn, x = πn/2. Значения с нечётными n не подходят (tg x и tg 3x не существуют) , значит, ответ x = πk. Возможно так