а² – b² = 2017
а² – b² = (а – b) * (а + b)
(а – b) * (а + b) = 2017
Число 2017 простое, поэтому имеет только два натуральных делителя 1 и 2017.
2017 = 1 * 2017
Поэтому
(а – b) * (а + b) = 1 * 2017
Имеем систему
{а + b = 2017
{а – b = 1
Из второго уравнения получим
а = b + 1
Подставим в первое уравнение
(b + 1) + b = 2017
2 b = 2017 - 1
2 b = 2016
b = 2016 : 2
b = 1008
а = 1008 + 1 = 1009
Проверка чисел а = 1009; b = 1008
1009² – 1008² = 2017
1018081 – 1016064 = 2017
2017 = 2017
ответ: существует только 1 вариант натуральных чисел разность квадратов которых равна числу 2017. Это числа 1008 и 1009.
(π/2 + 2πm; π/6 + 2πn)
(-π/6 + 2πm; -π/2 + 2πn); n,m∈Z
Объяснение:Применяем к 1-му уравнение "разность синусов", а ко 2-му "сумму косинусов":
(1)
(2)
Делим почленно (1) на (2):
(3)
(x - y)/2 = π/6 + πk, k∈Z
x = y + π/3 + 2πk - Подставляем в (1):
2·sin(0.5·(y + π/3 + 2πk - y)·cos(0.5·(y + π/3 + 2πk + y)) = 1/2
2·sin(π/6)·cos(y + π/6) = 1/2
cos(y + π/6) = 1/2
y + π/6 = ±π/3 + 2πn, n∈Z
1) y = -π/2 + 2πn
x = -π/6 + 2πn + 2πk = -π/6 + 2πm, m∈Z
или
2) y = π/6 + 2πn
x = π/2 + 2πn + 2πk = π/2 + 2πm
Проверяем получившиеся корни - все подходят
