Один из катетов прямоугольного треугольника вдвое боль-
ше другого. Каким наибольшим целым числом выражается дли-
на меньшего катета, если гипотенуза этого треугольника не боль-
ше 13?
​

в прямоугольном треугольнике АВД угол А = 90 - 40 = 50 гр в прямоугольном треугольнике ВДС угол С = 90 - 10 = 80гр тогда получаем, что в треугольнике АВС углы равны 50, 50 и 80 градусов.так как в тр-ке два угла равны, то он равнобедренный АВ - основание высоты тр-ка пересекаются в точке О, рассмотрим тр-ик СДО он прямоугольный, т.к ВД высота по условию. угол С = 40гр (80 : 2 - высота, проведенная к основанию является биссектрисой) угол ВОС это внешний угол тр-ка СДО. внешний угол треугольника равен сумме углов не смежных с ним, т.е Угол ВСО = угол С + угол Д = 40 + 90 = 130гр

 

Пусть николай кладет монеты в обменный пункт. У него только серебряные монетки, значит положил серебряные. Произошел обмен и Николай получил 3 золотые и одну медную.
по условию задачи мы знаем, что у Николая после всех обменных операций не появилось золотых монеток, значит он их все сменял. 
Продолжаем менять.
2 золотые поменяем на 3 серебряных и одну медную.
Осталась 1 золотая, поменять ее одну нельзя(а золотых по условию у николая не будет после обмена), значит еще раз меняем 5 серебряных.
Поменяли, получаем 3 золотых и 1 медную.
Теперь у нас 4 золотые монеты, их мы поменяем на 6 серебряных и 2 медных.
Посмотрим, что мы имеем после всех этих обменов.
5 серебряных⇒ 3 золотых + 1 медная
2 золотых⇒ 3 серебряных+1 мед
5 серебряных⇒ 3 зол+1 мед
4 зол⇒6 сер+2 мед
Получаем отдали в обменнный пункт 10 серебряных, получили сдачу: 5 медных и 9 серебряных. 
А нам надо, чтобы после обмена стало 50 медных. То есть ровно 10 раз провести точно такие же обмены, которые мы рассмотрели.
Получаем, что отдадим обменнику 100 серебряных монет, сдачей получим 50 медных и 90 серебряных. Значит на 10 серебряных монет стало меньше у Николая после обмена.