1)
Разложим многочлен x² + x - 56 на множители:
D = b² - 4ac = 1 - 4*(-56) = 225
x₁ = (-1 + 15)/2 = 14/2 = 7
x₂ = (-1 - 15)/2 = -16/2 = -8
x² + x - 56 = (x + 8)(x - 7)
Получаем:
(x² + x - 56)(x - 7)² = (x + 8)(x - 7) / (x - 7)² = (x + 8)/(x - 7)
2) Разложим многочлен y² + 7y - 8 на множители:
D = b² - 4ac = 49 - 4*(-8) = 81
y₁ = (-7 + 9)/2 = 2/2 = 1
y₂ = (-7 - 9)/2 = -16/2 = -8
y² + 7y - 8 = (y + 8)(y - 1)
Получаем:
((2y - 3)² - 1)/(y² + 7y - 8) = (2y - 3 + 1)(2y - 3 - 1) / (y + 8)(y - 1) = (2y - 2)(2y - 4) / (y + 8)(y - 1) = 2*2(y - 1)(y - 2) / (y + 8)(y - 1) = 4(y - 2)/(y + 8)
Число, которое при делении на 2; 3; 5 и 7 даёт остаток 1, должно быть вида:
НОК(2; 3; 5; 7) + 1,
где НОК - наименьшее общее кратное чисел 2; 3; 5 и 7.
Числа 2; 3; 5 и 7 - взаимно простые, значит,
НОК(2; 3; 5; 7) = 2 · 3 · 5 · 7 = 210.
И теперь получаем формулу для нужных нам чисел:
N = 210n + 1
где n - натуральное число ( n ∈ N)
Получаем неравенство для данного промежутка [2; 1020]:
2 ≤ 210n+1 ≤ 1020
2 -1 ≤ 210n+1 -1 ≤ 1020 -1
1 ≤ 210n ≤ 1019
1 : 210 ≤ 210n : 210 ≤ 1019 : 210
1/210 ≤ n ≤ 1019/210
0,0047 ≤ n ≤ 4,852...
Из этого неравенства выбираем только натуральные числа:
n=1
n=2
n=3
n=4
Всего 4 числа.
Можно их найти с нашей формулы N = 210n + 1.
n=1; N₁ = 210*1 + 1= 211
n=2; N₂ = 210*2 + 1= 421
n=3; N₃ = 210*3 + 1= 631
n=4; N₄ = 210*4 + 1= 841
ответ: 4 числа
