Відповідь:
Для спрощення цього виразу скористаємося тригонометричними тотожностями:
sin²x = 1 - cos²x
sin2x = 2sinx*cosx
tgx = sinx/cosx
Після застосування цих тотожностей отримаємо:
(1 - 2(1 - cos²x) / (1 + 2sinx*cosx)) - (1 - (sinx/cosx) / (1 + (sinx/cosx)))
Спрощуємо це подальше:
(1 - 2 + 2cos²x) / (1 + 2sinx*cosx) - (1 - sinx/cosx) / (1 + sinx/cosx)
(-1 + 2cos²x) / (1 + 2sinx*cosx) - (cosx - sinx) / (cosx + sinx)
Тепер застосуємо різницю квадратів для спрощення чисельника дробу:
(2cos²x - 1) / (1 + 2sinx*cosx) - (cosx - sinx) / (cosx + sinx)
Далі скористаємося спрощенням дробу зі синусами і косинусами:
((2cosx + 1)(cosx - 1)) / (1 + 2sinx*cosx) - (cosx - sinx) / (cosx + sinx)
Тепер можемо об'єднати дроби з однаковими знаменниками:
((2cosx + 1)(cosx - 1) - (cosx - sinx)(1 + 2sinxcosx)) / (cosx + sinx)(1 + 2sinxcosx)
Отримали спрощений вираз чисельника, залишилось просто зберегти знаменник:
(2cos³x - 2cosx - cosx + sinx + 2sin²xcosx - sin²x + sin²xcosx) / (cosx + sinx)(1 + 2sinx*cosx)
На цьому етапі можливо провести додаткову спрощення, але це залежить від конкретних вимог до виразу.
Пояснення:
Щоб розв'язати це рівняння методом заміни змінної, введемо нову змінну: u = (x - 3)^2. За до цієї заміни, рівняння стає:
u^2 - 5u + 4 = 0.
Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння. Застосуємо квадратне рівняння до знайденого виразу:
(u - 4)(u - 1) = 0.
Тепер ми отримали два рівняння:
u - 4 = 0 або u - 1 = 0.
Розв'язавши ці рівняння, отримаємо:
u = 4 або u = 1.
Повертаємось до виразу для u:
(x - 3)^2 = 4 або (x - 3)^2 = 1.
Тепер розв'язуємо ці рівняння для x:
(x - 3)^2 = 4:
x - 3 = ±√4
x - 3 = ±2
x = 3 ± 2
x = 5 або x = 1.
(x - 3)^2 = 1:
x - 3 = ±√1
x - 3 = ±1
x = 3 ± 1
x = 4 або x = 2.
Отже, рішенням початкового рівняння є: x = 5, x = 1, x = 4 або x = 2.
