Как расположены две окружности много

В решении.

Объяснение:

Решить систему неравенств:

1)

x <= 5

x >= -1

x∈(-∞; 5] - интервал решений первого неравенства (при х от - бесконечности до х=5).

х∈[-1; +∞) - интервал решений второго неравенства (при х от -1 до + бесконечности).

Неравенства нестрогие, х=5 и х= -1 входят в интервал решений, поэтому скобка квадратная.

А знаки бесконечности всегда в круглой скобке.

Теперь нужно на числовой оси отметить интервалы решений двух неравенств и найти пересечение решений, то есть, такое решение, которое подходит двум неравенствам.  

Чертим числовую ось, отмечаем значения  -1, 0, 5, + - бесконечность.

x∈(-∞; 5] - штриховка вправо от - бесконечности до 5, кружок на 5 закрашенный, это значит, что 5 входит в интервал решений.

х∈[-1; +∞) - штриховка вправо от -1 до + бесконечности, кружок на -1 закрашенный, это значит, что -1 входит в интервал решений.

x∈[-1; 5] - пересечение решений (двойная штриховка) от х= -1 до х=5, это решение системы неравенств. Скобки квадратные.

2.

2х < -14

x + 1 > 0

Решить первое неравенство:

2х < -14

х < -14/2

x < -7

x∈(-∞; -7) - интервал решений первого неравенства, от - бесконечности до х= -7.

Неравенство строгое, х= -7 не входит в интервал решений неравенства, скобки круглые.

Решить второе неравенство:

x + 1 > 0

х > -1

х∈(-1; +∞) - интервал решений второго неравенства (при х от -1 до + бесконечности).

Теперь нужно на числовой оси отметить интервалы решений двух неравенств и найти пересечение решений, то есть, такое решение, которое подходит двум неравенствам.  

Чертим числовую ось, отмечаем значения  -7, -1, 0,  + - бесконечность.

x∈(-∞; -7) - штриховка вправо от - бесконечности до -7, кружок на -7 не закрашенный, так как х= -7 не входит в интервал решений неравенства.

х∈(-1; +∞) - штриховка вправо от -1 до + бесконечности, кружок на -1 не закрашенный, так как х= -1 не входит в интервал решений неравенства.

Пересечения нет, значит, система уравнений не имеет решения.

3.

1) 2х - 10 > 0

2x > 10

x > 5

x∈(5; +∞) - интервал решений неравенства.

Означает, что функция f(x) > 0 ( принимает положительные значения) при х от 5 до + бесконечности.

Неравенство строгое, скобки круглые.

2) 12 - 3х > 0

-3х > -12

3x < 12     при делении на минус знак неравенства меняется

x < 4

x∈(-∞; 4) - интервал решений неравенства.

Означает, что функция g(x) > 0 ( принимает положительные значения) при х от - бесконечности до х=4.

Неравенство строгое, скобки круглые.

Рассмотрим сначала случай (k - 1) = 0 <=> k = 1. Тогда уравнение примет вид 2^x = 3/4 и имеет один корень. Пусть k не равно 1.
Сделаем замену переменной: у = 2^х. Тогда уравнение перепишется в виде (k - 1) * y^2 - 4y + (k + 2) = 0. Найдем четверть дискриминанта:
D/4 = 4 - (k - 1)(k + 2) = -k^2 - k + 6.
Если уравнение имеет один или более корней, то дискриминант должен быть неотрицательным. Имеем неравенство -k^2 - k + 6 >= 0, отсюда -3 <= k <= 2.
Находим корни:
y1 = (2 + √(-k^2 - k + 6))/(k - 1);
y2 = (2 - √(-k^2 - k + 6))/(k - 1).
Необходимо, чтобы хотя бы один из корней был положительным, иначе уравнение у = 2^x не имеет корней. Имеем два неравенства:
1. 2 + √(-k^2 - k + 6))/(k - 1) > 0;
2. 2 - √(-k^2 - k + 6))/(k - 1) > 0.
Решение первого очевидно: 1 < k <= 2.
Со вторым придется повозиться и разбить его на две системы:
1. 0 < √(-k^2 - k + 6) < 2 и k - 1 > 0.
2. √(-k^2 - k + 6) > 2 и k - 1 < 0.
Решение первой системы: -3 <= k < -2 и 1 < k <= 2.
Решение второй системы: -2 < k < 1.
Решение неравенства - объединение двух промежутков. Значит ответ: -3 <= k < -2 и -2 < k <= 2.