1.Разложите на множители многочлены:
а)75-3a^3
б)3x^2+12x+12
2.Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а)(3+x)(x-3)-(3-x)^2
б)(2x-4)^2-(2x+3)^2
3.Докажите тождество:
(x-y)^3=x^3-y^3-3xy*(x-y)
Найдите значение числового выражения:
37^2+2*37*13*13^2

Хорошо, давайте по порядку рассмотрим каждое из заданий.

1. Разложение на множители многочленов:

а) 75 - 3a^3

Для начала, мы можем заметить, что 75 и 3a^3 содержат общий множитель 3. Мы можем выделить этот множитель:

75 - 3a^3 = 3(25 - a^3)

Далее, мы видим, что (25 - a^3) является разностью куба и квадрата, которую можно представить в виде (a^2 - 5)(a^4 + 5a^2 + 25). Итак, полное разложение на множители:

75 - 3a^3 = 3(a^2 - 5)(a^4 + 5a^2 + 25)

б) 3x^2 + 12x + 12

Начнем с поиска общего множителя. В данном случае, 3 является общим множителем для всех трех членов многочлена:

3x^2 + 12x + 12 = 3(x^2 + 4x + 4)

Затем, мы замечаем, что (x^2 + 4x + 4) является квадратным триномом, который можно разложить в виде (x + 2)^2. Таким образом, полное разложение на множители:

3x^2 + 12x + 12 = 3(x + 2)^2

2. Преобразование выражений в многочлены стандартного вида:

а) (3 + x)(x - 3) - (3 - x)^2

Давайте по порядку выполним вычисления:

(3 + x)(x - 3) - (3 - x)^2 = (3x - 9 + x^2 - 3x) - (9 - 6x + x^2)

Теперь сложим и вычитаем аналогичные члены:

3x - 9 + x^2 - 3x - 9 + 6x - x^2 = -18 + x

Итак, преобразованное выражение в многочлен стандартного вида равно:

(3 + x)(x - 3) - (3 - x)^2 = -18 + x

б) (2x - 4)^2 - (2x + 3)^2

Выполним вычисления:

(2x - 4)^2 - (2x + 3)^2

= (4x^2 - 16x + 16) - (4x^2 + 12x + 9)

Теперь вычитаем аналогичные члены:

4x^2 - 16x + 16 - 4x^2 - 12x - 9 = -28x + 7

Итак, преобразованное выражение в многочлен стандартного вида:

(2x - 4)^2 - (2x + 3)^2 = -28x + 7

3. Доказательство тождества:

(x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)

Для начала, разложим левую сторону выражения в виде (x - y)(x - y)(x - y):

(x - y)(x - y)(x - y) = (x^2 - 2xy + y^2)(x - y)

Затем умножим полученные множители:

(x^2 - 2xy + y^2)(x - y) = x^3 - xy^2 - x^2y + 2xy^2 + y^3 - xy^2 + 2xy^2 - y^3

Мы видим, что некоторые члены сокращаются, а остальные можно сложить:

x^3 - xy^2 - x^2y + 2xy^2 + y^3 - xy^2 + 2xy^2 - y^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)

Итак, мы доказали заданное тождество.

4. Вычисление числового выражения:

37^2 + 2 * 37 * 13 * 13^2

Давайте выполним вычисления по порядку:

37^2 = 37 * 37 = 1369

Затем, упростим оставшуюся часть:

2 * 37 * 13 * 13^2 = 2 * 37 * 13 * 169

Теперь умножим полученные числа:

2 * 37 * 13 * 169 = 4392596

Наконец, сложим результаты:

1369 + 4392596 = 4393965

Итак, значение числового выражения равно 4393965.