P(4) = 27
Объяснение:
Многочлен 4 степени записывается так:
P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
Нам известны значения:
P(1) = a*1^4 + b*1^3 + c*1^2 + d*1 + e = a + b + c + d + e = 0
P(2) = a*2^4 + b*2^3 + c*2^2 + d*2 + e = 16a + 8b + 4c + 2d + e = 3
P(3) = a*3^4 + b*3^3 + c*3^2 + d*3 + e = 81a + 27b + 9c + 3d + e = 0
Кроме того, нам известно, что этот многочлен при любом x принимает значения P(x) >= 0.
Это значит, что в точках x = 1 и x = 3 он имеет минимумы, равные 0.
Берем производную P'(x):
P'(x) = 4x^3 + 3bx^2 + 2cx + d
Мы знаем, что она равна 0 при x = 1 и при x = 3:
P'(1) = 4a*1^3 + 3b*1^2 + 2c*1 + d = 4a + 3b + 2c + d = 0
P'(3) = 4a*3^3 + 3b*3^2 + 2c*3 + d = 108a + 27b + 6c + d = 0
Получили систему 5 линейных уравнений с 5 неизвестными.
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 16a + 8b + 4c + 2d + e = 3 (2)
{ 81a + 27b + 9c + 3d + e = 0 (3)
{ 4a + 3b + 2c + d = 0 (4)
{ 108a + 27b + 6c + d = 0 (5)
Умножаем (1) на -16 и складываем с (2).
Умножаем (1) на -81 и складываем с (3).
Умножаем (1) на -4 и складываем с (4).
Умножаем (1) на -108 и складываем с (5).
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a - 8b - 12c - 14d - 15e = 3 (2)
{ 0a - 54b - 72c - 78d - 80e = 0 (3)
{ 0a - b - 2c - 3d - 4e = 0 (4)
{ 0a - 81b - 102c - 107d - 108e = 0 (5)
Теперь (4) делим на -1, а (3) делим на 2.
И перепишем уравнения немного в другом порядке:
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (4)
{ 0a - 8b - 12c - 14d - 15e = 3 (2)
{ 0a - 27b - 36c - 39d - 40e = 0 (3)
{ 0a - 81b - 102c - 107d - 108e = 0 (5)
Умножаем (4) на 8 и складываем с (2).
Умножаем (4) на 27 и складываем с (3).
Умножаем (4) на 81 и складываем с (5).
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (4)
{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 3 (2)
{ 0a + 0b + 18c + 42d + 68e = 0 (3)
{ 0a + 0b + 60c + 136d + 216e = 0 (5)
Умножаем (2) на -9, а (3) умножаем на 2:
{ 0a + 0b - 36c - 90d - 153e = -27
{ 0a + 0b + 36c + 84d + 136e = 0
И складываем эти уравнения:
0a + 0b + 0c - 6d - 17e = -27 (3)
Умножаем (2) на -15, а (5) оставляем, как есть:
{ 0a + 0b - 60c - 150d - 255e = -45 (2)
{ 0a + 0b + 60c + 136d + 216e = 0 (5)
И складываем эти уравнения:
0a + 0b + 0c - 14d - 39e = -45 (5)
Собираем все уравнения обратно в систему и перенумеруем их:
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (2)
{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 3 (3)
{ 0a + 0b + 0c - 6d - 17e = -27 (4)
{ 0a + 0b + 0c - 14d - 39e = -45 (5)
Последний шаг. Умножаем (4) на -7, а (5) умножаем на 3:
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (2)
{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 3 (3)
{ 0a + 0b + 0c + 42d + 119e = 189 (4)
{ 0a + 0b + 0c - 42d - 117e = -135 (5)
И складываем (4) и (5):
2e = 54
e = 54/2 = 27
Подставляем в (4):
{ 0a + 0b + 0c - 6d - 17*27 = -27 (4)
-6d = 17*27 - 27 = 432
d = -432/6 = -72
Подставляем в (3):
0a + 0b + 4c + 10(-72) + 17*27 = 3 (3)
4с = 72*10 - 17*27 = 720 - 459 + 3 = 264
c = 264/4 = 66
Подставляем в (2):
0a + b + 2*66 + 3(-72) + 4*27 = 0 (2)
b = -132 + 216 - 108 = -24
Подставляем в (1):
a - 24 + 66 - 72 + 27 = 0 (1)
a = 24 - 66 + 72 - 27 = 3
Итак, мы получили коэффициенты этого многочлена:
P(x) = 3x^4 - 24x^3 + 66x^2 - 72x + 27
И, наконец-то, находим P(4):
P(4) = 3*4^4 - 24*4^3 + 66*4^2 - 72*4 + 27 =
= 3*256 - 24*64 + 66*16 - 288 + 27 =
= 768 - 1536 + 1056 - 288 + 27 = 27
График этого многочлена на рисунке.
для определения среднего дохода налогоплательщиков города налоговой инспекцией была проведена проверка 250 жителей этого города, отобранных случайным образом. оценить вероятность того, что средний годовой доход жителей города отклонится от среднего арифметического годовых доходов выбранных 250 жителей не более чем на 1000 руб., если известно, что среднее квадратичное отклонение годового дохода не превышает 2500 руб.
решение. согласно неравенству чебышева, которым можно пользоваться, поскольку все , получаем
.
теорема бернулли. если в каждом из п независимых опытов вероятность р появления события а постоянна, то при достаточно большом числе испытаний вероятность того, что модуль отклонения относительной частоты появлений а в п опытах от р будет сколь угодно малым, как угодно близка к 1:
.
замечание. из теоремы бернулли не следует, что . речь идет лишь о вероятности того, что разность относительной частоты и вероятности по модулю может стать сколь угодно малой. разница заключается в следующем: при обычной сходимости, рассматриваемой в анализе, для всех п, начиная с некоторого значения, неравенство выполняется всегда; в нашем случае могут найтись такие значения п, при которых это неравенство неверно. этот вид сходимости называют сходимостью по вероятности.
