1. Сколькими можно составить расписание из пяти уроков на понедельник, если все предметы разные?
2. Сколькими можно составить расписание из 6 уроков на вторник, если среди предметов есть два русских языка, а остальные разные?
3. В конкурсе участвует 10 человек. Сколькими можно присудить первое, второе и третье места?

cos5x = sin (п/2 - 5х).

sin2x + sin (п/2 - 5х) = 2sin(п/4 - 1,5х)*sin(3,5x - п/4) = 0(по условию). Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

sin(п/4 - 1,5х) = 0 и sin(3,5x - п/4) = 0.

Решаете оба (это простейшие тригонометрические уравнения типа sinx = 0), выражаете х и записываете ответ.

 

cosxcos2x=sinxsin2x

cosxcos2x - sinxsin2x = cos(x + 2x) = cos3x.

Следовательно, исходное уравнение равносильно простейшему тригонометрическому уравнению cos3x = 0. Записывайте решение и выражайте х. Получите ответ.

ответ: −½

A ≡ cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) = ?

Рассмотрим расширенную сумму 
B ≡ 1 + cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) + cos(8π/7) + cos(10π/7) + cos(12π/7)
С учётом тождества cos(2π−φ) = cos(φ) получаем:
cos(8π/7) = cos(6π/7),
cos(10π/7) = cos(4π/7),
cos(12π/7) = cos(2π/7).

Таким образом, B = 2A + 1

Запишем B с использованием тригонометрической записи комплексных чисел:
B = Re (1 + z + z² + z³ + z^4 + z^5 + z^6),
где z = e^(2iπ/7), Re(z) — действительная часть z.
В скобках стоит сумма геометрической прогрессии:
B = Re ((1−z^7)/(1−z))
Но z^7 = e^(2iπ) = 1; таким образом, 1−z^7 = 0, и
B = 0

Итак, 2A + 1 = 0 ⇒ A=−½