3. Найти множество допустимых значений переменной в выражении

Квадратные уравнения решаются очень легко.
Самый классический их решения, через дискриминант.

Во первых надо знать, что Квадратное уравнение имеет 2 корня (основная теорема алгебры).

Во вторых надо знать, что если число (дискриминант) под корнем отрицательно, то решения у уравнения нет.

В общем виде, квадратное уравнение выглядит так:


При этом , так как уравнение обращается в линейное.

Поначалу находят дискриминант:

Если  уравнение не имеет решений (вообще имеет, но это в школе не проходят).
Если   то уравнение имеет 1 решение (корень).
Если - уравнение имеет 2 корня.

После того как ты нашел сам дискриминант, используешь следующую формулу:


Если не понятно.
То вот:

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=9/16

(x-2)(x-3) = х² - 5х + 6

(х - 1)(х - 4) = х² - 5 х + 4 = (х² - 5х + 6) - 2

[(х² - 5х + 6) - 2]·(х² - 5х + 6) = 9/16

(х² - 5х + 6)² - 2·(х² - 5х + 6) - 9/16 = 0

замена у = х² - 5х + 6

у² - 2у - 9/16 = 0

D = 4 + 9/4 = 25/4

√D = 5/2

y₁ = (2 - 5/2):2 = -1/4

y₂ = (2 + 5/2):2 = 9/4

возвращаемся к замене

1) х² - 5х + 6 = -1/4

х² - 5х + 25/4 = 0

D = 25 - 25 = 0

x = 5/2 = 2,5

2) х² - 5х + 6 = 9/4

х² - 5х + 15/4 = 0

D = 25 - 15 = 10

√D = √10

x₁ = (5 - √10):2 = 2,5 - √2.5 = √2.5 (√2.5 - 1)

x₂ = (5 + √10):2 = 2,5 + √2.5 = √2.5 (√2.5 + 1)

ответ: уравнение имеет два различных корня

x₁ =  √2.5 (√2.5 - 1) и x₂ = √2.5 (√2.5 + 1)

и кратный корень

х₃ = х₄ = 2,5