По графику производной функции у=f(x), представленному на заданном рисунке, определите на каких промежутках функция у=f(x) возрастает, а на каких убывает:
а) рис. 98
б) рис. 99
в) рис. 100
г) рис. 101​

Объяснение:

Нам необходимо доказать, что

S(n) = 1 / 1 * 2  + 1 /2 * 3 + ... + 1 /n * (n + 1) = n / (n + 1).

Проведем доказательство по индукции.

S(1) = 1 / 1 * 2 = 1/2 = 1 /(1 + 1) = 1/2.

Предположим, что утверждение верно

для любого натурального к <=  n.

Тогда

S(n + 1) = 1 / 1 * 2  + 1 / 2 * 3 + ... + 1 / n * (n + 1) +

+ 1 / (n + 1) * (n + 2) = S(n) + 1 / (n + 1) * (n + 2) =

= n / (n + 1) + 1 / (n + 1) * (n + 2) =

= (n * (n + 2) + 1) / (n + 1) * (n + 2) =

= (n^2 + 2 * n + 1) / (n + 1) * (n + 2) =

= (n + 1)^2 / (n + 1) * (n + 2) = (n + 1) / (n + 2)

4((x+1)(x+6))*((x+2)(x+3)) = -3x^2
4(x^2 + 7x + 6)*(x^2 + 5x + 6) = -3x^2
Замена x^2 + 6x + 6 = t
4(t + x)(t - x) = -3x^2
4(t^2 - x^2) = -3x^2
4t^2 - 4x^2 + 3x^2 = 0
4t^2 - x^2 = 0
(2t - x)(2t + x) = 0
Обратная замена
(2x^2 + 12x + 12 - x)(2x^2 + 12x + 12 + x) = 0
(2x^2 + 11x + 12)(2x^2 + 13x + 12) = 0
Разложили на 2 квадратных. Решаем их отдельно.

1) 2x^2 + 11x + 12 = 0
D = 11^2 - 4*2*12 = 121 - 96 = 25 = 5^2
x1 = (-11 - 5)/4 = -16/4 = -4
x2 = (-11 + 5)/4 = -6/4 = -1,5

2) 2x^2 + 13x + 12 = 0
D = 13^2 - 4*2*12 = 169 - 96 = 73
x3 = (-13 - √73)/4
x4 = (-13 + √73)/4