Алгебра: Решите уравнение: sin2x+4sinx+4cosx-5=0

(см. объяснение)Объяснение:Шаг 1: преобразуем уравнение.Шаг 2: выполним замену.Замена:ОДЗ для буквы t:Sin дает значения от -1 до 1 включительно. Если умножить их на , то получится, что ,Шаг 3: решим квадратное уравнение.Продолжим решение:Рассмотрим корень (а вообще понятно, что само число больше, чем корень из него, а тут мы еще корень из 10 вычитаем). Он посторонний, так как выше мы доказали, что . Другой корень посторонним не является. Значит работать будем только с ним.Шаг 4: обратная замена.Обратная...

Решите уравнение:
sin2x+4sinx+4cosx-5=0

Нажмите на рекламу ниже и сразу увидите ответ

↓

Популярные вопросы:

Dima1208

10.10.2022 02:47

Найдите значение выражения,! -6а- 7при а = - 0.2...

VicusiaKoval

10.10.2022 02:47

Используя термины сумма разность произведение и частное прочитайте выражение и найдите его значение в)2 1/2*6+3 1/3 г) 2 1/2*2+ 3 1/3*3...

dahasha0515ozg6qu

22.06.2020 14:07

4-3в/в^2-2в+3/в-2 представить в виде дроби...

vishnevskayaya

22.06.2020 14:07

Найдите значение выражения а) 4^8×9^7+6^12×180/8^6×3^14-6^14...

julv2

09.11.2021 10:34

2x-5y=9 2y+4x=6 решите систему уравнений...

Kirillik17091

09.11.2021 10:34

Сколько четырехзначных чисел в записи которых все цифры можно составить из цифр 1,2,3,4...

boriskina2006

09.11.2021 10:34

Как решить вот такое уравнение: (2x-3)(2x+3)+(3x-4)²=15x+7...

bezimeni3

31.01.2021 06:11

8m^2+3m-5/4m^3+4m+1-5m-7/-4m^2-4m-1-4m-9/(1+2m)^2...

1232964

31.01.2021 06:11

Найдите высоту, опущенную на гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 15 см и 20 см...

DartMatv

30.03.2023 06:46

Через яку з точок проходить графік функції у=3х+5 До ть будь ласка це в!...

Ответ:

GeliaSecret2005

12.10.2020 14:58

(см. объяснение)

Объяснение:

Шаг 1: преобразуем уравнение.

$\sin2x+4\sin x+4\cos x-5=0\\\sin 2x+4(\sin x+\cos x)-5=0$

Шаг 2: выполним замену.

Замена:

$t=\sin x+\cos x\\t^2=1+\sin 2x\; =\; \sin 2x=t^2-1$

ОДЗ для буквы t:

$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\sin x\cos\dfrac{\pi}{4}+\sin \dfrac{\pi}{4}\cos x\right)=\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$

Sin дает значения от -1 до 1 включительно. Если умножить их на $\sqrt{2}$ , то получится, что $t\in\left[-\sqrt{2};\; \sqrt{2}\right]$ ,

Шаг 3: решим квадратное уравнение.

Продолжим решение:

$t^2-1+4t-5=0\\t^2+4t-6=0\\\sqrt{\dfrac{D}{4}}=\sqrt{4+6}=\sqrt{10}\\t_{1,2}=-2\pm\sqrt{10}$

Рассмотрим корень $-2-\sqrt{10}\approx-5.16$ (а вообще понятно, что само число больше, чем корень из него, а тут мы еще корень из 10 вычитаем). Он посторонний, так как выше мы доказали, что $t\in\left[-\sqrt{2};\; \sqrt{2}\right]$ . Другой корень посторонним не является. Значит работать будем только с ним.

Шаг 4: обратная замена.

Обратная замена:

$t=-2+\sqrt{10},\; \sin x+\cos x=-2+\sqrt{10}$

Выше уже узнавали значение суммы sin и cos через одну тригонометрическую функцию. Поэтому пишу сразу:

$\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-2+\sqrt{10}\\\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{-2+\sqrt{10}}{\sqrt{2}}\\\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{5}-\sqrt{2}\\$

Полученное уравнение можно без труда решить следующим образом:

$\left[\begin{array}{c}x+\dfrac{\pi}{4}=\arcsin\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)+2n\pi,\; n\in Z\\x+\dfrac{\pi}{4}=\pi-\arcsin\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)+2n\pi,\; n\in Z\end{array}\right;\\\left[\begin{array}{c}x=-\dfrac{\pi}{4}+\arcsin\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)+2n\pi,\; n\in Z\\x=\dfrac{3\pi}{4}-\arcsin\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)+2n\pi,\; n\in Z\end{array}\right;$

$\left[\begin{array}{c}x=\arcsin\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)-\dfrac{\pi}{4}+2n\pi,\; n\in Z\\x=-\arcsin\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)+\dfrac{3\pi}{4}+2n\pi,\; n\in Z\end{array}\right;$

Уравнение решено!

0,0(0 оценок)

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку