При каких значениях P уравнение x^2+Px+30=0 имеет корень, равный 6

1)  sin x≥ -√2
                 2
-3π + 2πn ≤ x ≤ -π +2πn, n∈Z
  4                      4
ответ: (-3π + 2πn;  -π + 2πn), n∈Z
              4                 4

2) cos x/4 < 0

пусть x/4 = t
 cost <0   
π/2 + 2πn < t < 3π + 2πn, n∈Z
                          2
π + 2πn < x/4 < 3π + 2πn, n∈Z
 2                        2
 4 * π + 4 * 2πn < x < 4 *3π + 4*2πn, n∈Z
       2                               2 
 2π+8πn < x < 6π +8πn, n∈Z
ответ: (2π+8πn;  6π+8πn) , n∈Z

3) √3 tgx <3
        tgx < 3/√3
        tgx <    3√3 
                 √3*√3
        tgx <√3
-π/2 + πn <x <π/3 +πn, n∈Z
ответ:(-π/2 +πn;  π/3 +πn), n∈Z

4)  2 cos(2x +π/4) >√2
        cos(2x+π/4) > √2
                                 2
Пусть 2х+π/4=t
         cost > √2 
                     2
-π/4 + 2πn <t< π/4 + 2πn, n∈Z
-π/4 + 2πn < 2x+π/4 < π/4 + 2πn, n∈Z
-π/4 - π/4 +2πn < 2x < π/4 - π/4 + 2πn, n∈Z
 -π/2 + 2πn < 2x < 2πn, n∈Z
  -π/4 + πn < x < πn, n∈Z
ответ: (-π/4 + πn;  πn), n∈Z
 

Для этого найдем производную данной функции. 
y' = 1/4  - 1/(x-5)²
Приводим к общему знаменателю:
y' = ((x - 5)²  - 4) / (4(x-5)²)
y' = (x² - 10x + 21) / (4(x-5)²) Найдем нули производной:
x² - 10x + 21 = 0
D = 100 - 84 = 4²
x₁ = (10 - 4) / 2= 3 x₂ = (10 + 4) / 2= 7

Нанесём на числовую прямую, не забыв про число 5 из знаменателя:
357>

Подставим значения из промежутков в производную и посмотрим знаки производной при этих числах:

 +  3  -  5  -  7  +  >
Точка минимума - точка, где производная меняет знак с минуса на плюс.
Точка максимума - точка, где производная меняет знак с плюса на минус.

Точка максимума - 3. Но 3 не входит в ОО.
Точка минимума - 7. 
Значит, посчитаем значение функции в точках 6, 7 и 8.
f(6) = 2.5
f(7) =  2.25
f(8) = 7/3

ответ: наибольшее значение - 2.5. Наименьшее значение - 2.25.