Розклад за день містить 6 уроків. Визначте кількість таких можливих розкладів при виборі з 10 дисциплін за умови, що жодна дисципліна не зустрічається в розкладі більше ніж один раз на день.

1) Запишем это уравнение в виде (2x+5)(2y+3)=1 (проверяется раскрытием скобок и делением на 2).
Т.к. у 1 есть только два делителя 1 и -1, то возможны только 2 варианта: 2x+5=1, 2у+3=1, откуда х=-2, у=-1 или
2x+5=-1, 2у+3=-1, откуда х=-3, у=-2. ответ: 2 решения.

2) Введем обозначения как на рисунке.  Пусть ∠O₁BM=x. BO₁ и BO₂ - биссектрисы углов, сумма которых равна 90°, поэтому ∠O₂BN=45°-x. По свойству касательных BE=BM=ctg(x) и BF=BN=r·ctg(45°-x), откуда BF/BE=r·ctg(45°-x)/ctg(x)=r·tg(x)/tg(45°-x). С другой стороны,
BF/BE=AD/AB=tg(2x). Таким образом, r·tg(x)/tg(45°-x)=tg(2x). После несложных преобразований получаем: r=2/(1+tg(x))². Т.к. х изменяется от 0 до 45°, то r может принимать значения от 1/2 до 2.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

А вот доказательство

Так как ∠A=∠A1, то можно треугольник A1B1C1 наложить на треугольник ABC так, чтобы

точка A1 совместилась с точкой A,

луч A1C1 наложился на луч AC,

луч A1B1 — на луч AB.

Так как AB=A1B1, то при таком наложении сторона A1B1 совместится со стороной AB, а значит, точка B1 совместится с точкой B.

Аналогично, сторона A1C1 совместится со стороной AC, а точка C1 — с точкой C.

Следовательно, сторона B1C1 совместится со стороной BC.

Значит, при наложении треугольники полностью совместятся,  поэтому ΔABC= ΔA1B1C1

Что и требовалось доказать.

Ну как-то так