Решите интеграл dx/cosx+3
Через замену t=tg x/2; x=2arctg t
Буду благодарен

Для решения данного интеграла, воспользуемся заменой переменных. Заменяем переменную x на t согласно данному условию: t = tg(x/2).

1. Найдем производную от t по x, чтобы выразить dx через dt.
dt/dx = d(tg(x/2))/dx

Для нахождения производной функции tg(x/2) воспользуемся формулой производной функции сложной переменной:
(d/dx)tg(u) = (d/dx)(sin(u)/cos(u))
= [(cos(u)(d(sin(u))/dx)) - (sin(u)(d(cos(u))/dx))]/(cos^2(u))

В нашем случае u = x/2, поэтому:
dt/dx = (1/2) [(cos(x/2)(d(sin(x/2))/dx)) - (sin(x/2)(d(cos(x/2))/dx))]/(cos^2(x/2))

Найдем производные sin(x/2) и cos(x/2):
d(sin(x/2))/dx = (1/2)cos(x/2)
d(cos(x/2))/dx = -(1/2)sin(x/2)

Подставим найденные значения в формулу производной tg(x/2):
dt/dx = (1/2) [(cos(x/2)((1/2)cos(x/2))) - (sin(x/2)(-(1/2)sin(x/2)))]/(cos^2(x/2))
= (1/2) [((1/4)cos^2(x/2)) + (1/4)sin^2(x/2)]/(cos^2(x/2))
= (1/2)(1/4 + 1/4)
= 1/4

Теперь имеем выражение dx/dt = 4.

2. Заменяем переменную x на t в исходном интеграле:
∫(dx/(cosx+3))
= ∫[(dx/dt)/(cos(2arctg(t))+3)] dt (подставляем dx/dt = 4)
= 4 ∫[1/(cos(2arctg(t))+3)] dt

3. Рассмотрим функцию cos(2arctg(t)).

Используем формулу двойного угла: cos(2Θ) = cos^2(Θ) - sin^2(Θ).

Подставим t = tg(Θ) вместо sin(Θ) и cos(Θ):
sin(Θ) = t / √(1+t^2)
cos(Θ) = 1 / √(1+t^2)

Теперь можем выразить cos(2arctg(t)) через t:
cos(2arctg(t)) = cos^2(arctg(t)) - sin^2(arctg(t))
= (1 / √(1+t^2))^2 - (t / √(1+t^2))^2
= 1 / (1 + t^2) - t^2 / (1 + t^2)
= (1 - t^2) / (1 + t^2)

4. Подставляем найденное выражение для cos(2arctg(t)) обратно в интеграл:
4 ∫[1/((1 - t^2) / (1 + t^2) + 3)] dt
= 4 ∫[(1 + t^2) / (1 - t^2 + 3(1 + t^2))] dt
= 4 ∫[(1 + t^2) / (1 + 2t^2)] dt

5. Разложим выражение (1 + t^2) по формуле суммы квадратов: (a^2 + 2ab + b^2) = (a + b)^2.
(1 + 2t^2) = (1 + √2t + t^2)(1 - √2t + t^2) / (1 + t^2)

Теперь интеграл принимает следующий вид:
4 ∫[(1 + t^2) / (1 + √2t + t^2)(1 - √2t + t^2) / (1 + t^2)] dt

6. Упростим дробь:
4 ∫[1 / (1 + √2t + t^2)(1 - √2t + t^2)] dt

7. Разделим дробь на две составляющие:
4 ∫[1 / (1 + √2t + t^2)] dt - 4 ∫[1 / (1 - √2t + t^2)] dt

8. Подставим в первый интеграл u = t + √2:
du = dt
t = u - √2

4 ∫[1 / (1 + √2t + t^2)] dt = 4 ∫[1 / (1 + √2(u - √2) + (u - √2)^2)] du
= 4 ∫[1 / (1 + √2u - 2 + u^2 - 2u√2 + 2)] du
= 4 ∫[1 / (3 + √2u - 2u - 2√2u + u^2)] du
= 4 ∫[1 / (u^2 + √2u - 2√2u - 2u + 3)] du
= 4 ∫[1 / (u^2 - u(2 - √2 - 2√2) + 3)] du
= 4 ∫[1 / (u^2 - u(4 - √2√2) + 3)] du

[4 ∫[1 / (u^2 - 4u + 3)] du]

9. Таким же образом подставим t = u + √2 во второй интеграл:
4 ∫[1 / (1 - √2t + t^2)] dt = 4 ∫[1 / (1 - √2(u + √2) + (u + √2)^2)] du
= 4 ∫[1 / (1 - √2u -2 + u^2 + 2u√2 + 2)] du
= 4 ∫[1 / (3 - √2u - 2u + 2√2u + u^2)] du
= 4 ∫[1 / (u^2 - u(2 + √2 + 2√2) + 3)] du
= 4 ∫[1 / (u^2 - u(4 + √2√2) + 3)] du

[4 ∫[1 / (u^2 - 4u + 3)] du]

10. Заметим, что оба интеграла имеют одинаковое значение, поэтому результат можно записать в следующем виде:
2 * [4 ∫[1 / (u^2 - 4u + 3)] du]

11. Для решения данного интеграла нужно разложить дробь на простейшие слагаемые.
(u^2 - 4u + 3) = (u - 1)(u - 3)

Теперь интеграл принимает вид:
2 * [4 ∫[A / (u - 1) + B / (u - 3)] du] , где A и B - неизвестные коэффициенты

12. Разложим дробь на простейшие слагаемые:
A / (u - 1) + B / (u - 3) = (A(u - 3) + B(u - 1)) / ((u - 1)(u - 3))

С помощью метода неопределенных коэффициентов найдем значения коэффициентов A и B:
A(u - 3) + B(u - 1) = 1

Подставим u = 1:
A(1 - 3) + B(1 - 1) = 1
-2A = 1
A = -1/2

Подставим u = 3:
A(3 - 3) + B(3 - 1) = 1
2B = 1
B = 1/2

Выражение для интеграла перепишется следующим образом:
2 * [4 ∫[(-1/2)/(u - 1) + (1/2)/(u - 3)] du]
= 2 * [4 * (-1/2) * ln|u - 1| + 4 * (1/2) * ln|u - 3| + C]
= 4 * [-ln|u - 1| + ln|u - 3| + C]

13. Подставим обратные замены для переменных:
u = t + √2
t = u - √2

Подставим t обратно вместо u:
-ln|u - 1| + ln|u - 3| = -ln|t + √2 - 1| + ln|t + √2 - 3|

14. Получили окончательный результат интеграла:
4 * [-ln|t + √2 - 1| + ln|t + √2 - 3| + C]

В итоге, чтобы решить данный интеграл, нужно подставить обратные замены и получить ответ в виде:
4 * [-ln|tg(x/2) + √2 - 1| + ln|tg(x/2) + √2 - 3| + C]